Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em C[-pi, pi].
7. Mostre que C^n[a, b] é um subespaço de C[a, b].

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(1) “Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em C[-pi,pi]”.
(2) “Mostre que C^n[a,b] é um subespaço de C[a,b]”.

Passo 2

Para a parte (1) não há como resolver porque o enunciado não informa quais são os vetores em C[-pi,pi]. Sem saber exatamente quais funções estão sendo referidas, não podemos aplicar a definição de independência linear nem montar combinações lineares para verificar se apenas a combinação trivial leva à função zero.

Passo 3

Na parte (2), queremos provar que
C^n[a,b]=,f:[a,b]toRmid f é (n)-vezes continuamente diferenciável éá
é subespaço do espaço vetorial
C[a,b]=,f:[a,b]toRmid f é contínua éí
Para isso usamos o critério de subespaço: um conjunto Wsubset V é subespaço de V se
  1. Wneqemptyset.
  2. Para todo f,gin W, a soma f+gin W.
  3. Para todo escalar alphainR e toda fin W, o produto alpha fin W.

Passo 4

Mostramos que C^n[a,b]neqemptyset porque a função zero,
f0(x)=0, xin[a,b],
é claramente n-vezes continuamente diferenciável. Logo f0inC^n[a,b].

Passo 5

Fechamento sob soma: sejam f,ginC^n[a,b]. Então f e g têm derivadas contínuas até a ordem n. A derivada de ordem k de f+g é
(f+g)^(k)(x)=f^(k)(x)+g^(k)(x),
que é soma de funções contínuas, logo contínua. Isso vale para todo k=1,dots,n. Assim f+g é n-vezes continuamente diferenciável, ou seja, f+ginC^n[a,b].

Passo 6

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja alphainR e finC^n[a,b]. Então para todo k=1,dots,n
(alpha f)^(k)(x)=alpha,f^(k)(x),
e como f^(k) é contínua, alpha,f^(k) também é contínua. Logo alpha f é n-vezes continuamente diferenciável, isto é, alpha finC^n[a,b].

Resposta

Parte (1): não é possível resolver pois os vetores não foram especificados.
Parte (2): C^n[a,b] satisfaz os três axiomas de subespaço (não vazio, fechado sob soma e sob multiplicação escalar) e, portanto, é subespaço de C[a,b].

Exercícios relacionados