Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em
.
7. Mostre que
é um subespaço de
.
7. Mostre que
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(1) “Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em ”.
(2) “Mostre que é um subespaço de
”.
(1) “Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em
(2) “Mostre que
Passo 2
Para a parte (1) não há como resolver porque o enunciado não informa quais são os vetores em
. Sem saber exatamente quais funções estão sendo referidas, não podemos aplicar a definição de independência linear nem montar combinações lineares para verificar se apenas a combinação trivial leva à função zero.
Passo 3
Na parte (2), queremos provar que
é subespaço do espaço vetorial
Para isso usamos o critério de subespaço: um conjunto
é subespaço de
se
-
. - Para todo
, a soma . - Para todo escalar
e toda , o produto .
Passo 4
Mostramos que
porque a função zero,
é claramente
-vezes continuamente diferenciável. Logo
.
Passo 5
Fechamento sob soma: sejam
. Então
e
têm derivadas contínuas até a ordem
. A derivada de ordem
de
é
que é soma de funções contínuas, logo contínua. Isso vale para todo
. Assim
é
-vezes continuamente diferenciável, ou seja,
.
Passo 6
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja
e
. Então para todo
e como
é contínua,
também é contínua. Logo
é
-vezes continuamente diferenciável, isto é,
.
Resposta
Parte (1): não é possível resolver pois os vetores não foram especificados.
Parte (2): satisfaz os três axiomas de subespaço (não vazio, fechado sob soma e sob multiplicação escalar) e, portanto, é subespaço de
.
Parte (2):