3(3, 0 pts.) Dadas as retas r1:lx=1-t y=-2+2 t z=1-t e r2:lx=1+2 s y=1-3 s z=1+s t, s in R.
Calcule a distância entre elas e determine a equação da reta que interseta r1 e r2 perpendicularmente.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas esparsas em R^3 e a reta comum perpendicular a ambas (isto é, a perpendicular que as intersecta). O conteúdo aqui é geometria vetorial no espaço: vamos usar vetores diretores, produto vetorial para a distância entre retas e condições de ortogonalidade para achar os pontos de mínima separação.

Passo 2

Escolhemos um ponto em cada reta e extraímos os vetores diretores.
Na reta r1:
v1 = (-1,2,-1), P1 = r1(t=0) = (1,-2,1)
Na reta r2:
v2 = (2,-3,1), P2 = r2(s=0) = (1,1,1)

Passo 3

A distância entre retas em R^3 pode ser obtida por
d = l| (P2-P1) cdot (v1times v2)r||v1times v2|
Calculamos
P2-P1 = (0,3,0), v1times v2 = i&j&k -1&2&-1 2&-3&1 = (-1,-1,-1),
|( -1,-1,-1)| = raiz3, (0,3,0)cdot(-1,-1,-1) = -3,
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d = |-3|raiz3 = raiz3

Passo 4

Para achar a reta perpendicular comum, determinamos os pontos Qin r1 e Rin r2 tais que RQ seja ortogonal a ambos v1 e v2. Escrevemos
Q = r1(t)=(1-t,,-2+2t,,1-t), R = r2(s)=(1+2s,,1-3s,,1+s),
e impomos
(R-Q)cdot v1=0, (R-Q)cdot v2=0
Isso gera o sistema linear em t,s
2t+3s=2, 9t+14s=9,
cuja solução é t=1, s=0.

Passo 5

Substituindo t=1 e s=0 obtemos
Q = r1(1) = (0,0,0), R = r2(0) = (1,1,1)
O vetor QR=(1,1,1) é a direção da perpendicular comum. Assim a reta pedida, passando por Q, é
ell: (x,y,z) = (0,0,0) + lambda,(1,1,1), lambdainR,
isto é,
x=lambda, y=lambda, z=lambda

Resposta

Distância entre r1 e r2: raiz3
Equação da reta perpendicular comum:
x=lambda, y=lambda, z=lambda, lambdainR

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