Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R^3 ? Justifique suas respostas.
11. Sejam
x1=(c -1 2 3 ), x2=(l 3 4 2 ), x=(l 2 6 6 ), y=(c -9 -2 5 )
(a) x in[x1, x2] ?
(b) y in[x1, x2] ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores
x1=(-1,2,3)^T, x2=(3,4,2)^T, x=(2,6,6)^T e y=(-9,-2,5)^T em R^3.
Queremos saber se x e y estão no subespaço gerado por x1,x2, ou seja, se existem escalares a,b tais que
a,x1+b,x2=x ou a,x1+b,x2=y

Passo 2

Para verificar x in x1, x2 montamos o sistema
-,a + 3,b = 2,[6pt] 2,a + 4,b = 6,[6pt] 3,a + 2,b = 6 ]

Passo 3

Da primeira equação vem
a = 3b - 2
Substituindo na segunda:
2(3b-2) + 4b = 6 ;implies; 6b -4 +4b =6 ;implies; 10b =10 ;implies; b=1,
logo a=3cdot1-2=1. Mas na terceira equação teríamos
3a + 2b = 3cdot1 + 2cdot1 =5 neq 6,
inconsistência que mostra que não há solução. Portanto xnotin[x1,x2].

Passo 4

Para verificar y in x1, x2 montamos
-,a + 3,b = -9,[6pt] 2,a + 4,b = -2,[6pt] 3,a + 2,b = 5 ]

Passo 5

Da primeira equação obtemos
a = 3b + 9
Substituindo na segunda:
2(3b+9) + 4b = -2 ;implies; 6b +18 +4b = -2 ;implies; 10b = -20 ;implies; b=-2,
logo a=3(-2)+9=3. Verificando a terceira:
3a+2b = 3cdot3 + 2(-2) =9 -4 =5,
que coincide. Há solução e de fato
y = 3,x1 - 2,x2,
logo yin[x1,x2].

Resposta

(a) x não pertence a l[x1,x2r].
(b) y pertence a l[x1,x2r], pois y = 3x1 - 2x2.

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