Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R^3 ? Justifique suas respostas.
10. Quais dos conjuntos a seguir são ou não conjuntos geradores para R^3 ? Justifique suas respostas.
(a) (1,0,0)^T,(0,1,1)^T,(1,0,1)^T
(b) (1,0,0)^T,(0,1,1)^T,(1,0,1)^T,(1,2,3)^T
(c) (2,1,-2)^T,(3,2,-2)^T,(2,2,0)^T
(d) (2,1,-2)^T,(-2,-1,2)^T,(4,2,-4)^T
(e) (1,1,3)^T,(0,2,1)^T

Passo 1

O exercício pede para identificar, em cada caso (a)–(e), se o conjunto dado gera R^3. Em outras palavras, queremos saber se o span dessas coleções de vetores é todo R^3. Vamos usar como critério que um conjunto de vetores gera R^3 se, ao formarmos a matriz cujas colunas são esses vetores, ela tiver posto 3. Para matrizes 3times3 isso equivale a um determinante não nulo; para menos de 3 vetores temos posto no máximo igual ao número de vetores.
Definição prática para 3 vetores: se formamos a matriz
M=l[v1;;v2;;v3r]
e det(M)neq0, então o posto de M é 3 e os vetores v1,v2,v3 geram R^3. Se det(M)=0, o posto é menor que 3 e não geram.

Passo 2

Para o conjunto (a) temos
A= 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ,
onde as colunas são (1,0,0)^T, (0,1,1)^T e (1,0,1)^T. Calculamos
det(A) =1cdotdet1&01&1 -0cdot(cdots) +1cdotdet0&10&1 =1cdot(1cdot1-0cdot1)+1cdot(0-0) =1neq0
Logo o posto é 3 e o conjunto (a) gera R^3.

Passo 3

O conjunto (b) é obtido adicionando o vetor (1,2,3)^T ao conjunto de (a). Como já sabemos que (a) gera R^3, qualquer conjunto que o contenha também gera R^3. Portanto (b) gera R^3.

Passo 4

Para o conjunto (c) formamos
C= 2 & 3 & 2 1 & 2 & 2 -2 & -2 & 0
e calculamos
det(C) =2det!2&2-2&0 -3det!1&2-2&0 +2det!1&2-2&-2 =2(2cdot0-2cdot(-2))-3(1cdot0-2cdot(-2))+2(1cdot(-2)-2cdot(-2)) =2cdot4-3cdot4+2cdot2 =8-12+4 =0
Como det(C)=0, o posto é menor que 3 e (c) não gera R^3.

Passo 5

No conjunto (d) temos
(2,1,-2)^T,,(-2,-1,2)^T,,(4,2,-4)^T
Observa-se
(-2,-1,2)=-1cdot(2,1,-2), (4,2,-4)=2cdot(2,1,-2),
ou seja, todos são múltiplos de um único vetor e o posto é 1. Logo (d) não gera R^3.

Passo 6

O conjunto (e) tem apenas dois vetores, então seu posto é no máximo 2<3. Consequentemente (e) não gera R^3.

Resposta

(a) Gera R^3.
(b) Gera R^3.
(c) Não gera R^3.
(d) Não gera R^3.
(e) Não gera R^3.

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