Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em ? Justifique suas respostas.
10. Quais dos conjuntos a seguir são ou não conjuntos geradores para ? Justifique suas respostas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O exercício pede para identificar, em cada caso (a)–(e), se o conjunto dado gera . Em outras palavras, queremos saber se o span dessas coleções de vetores é todo . Vamos usar como critério que um conjunto de vetores gera se, ao formarmos a matriz cujas colunas são esses vetores, ela tiver posto 3. Para matrizes isso equivale a um determinante não nulo; para menos de 3 vetores temos posto no máximo igual ao número de vetores.
Definição prática para 3 vetores: se formamos a matriz
e , então o posto de é 3 e os vetores geram . Se , o posto é menor que 3 e não geram.
Passo 2
Para o conjunto (a) temos
onde as colunas são (1,0,0)^T, (0,1,1)^T e (1,0,1)^T. Calculamos
O conjunto (b) é obtido adicionando o vetor (1,2,3)^T ao conjunto de (a). Como já sabemos que (a) gera R^3, qualquer conjunto que o contenha também gera R^3. Portanto (b) gera R^3.