Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em P3 ? Justifique suas respostas.
12. Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P3 ? Justifique suas respostas.
(a) 1, x^2, x^2-2
(b) 2, x^2, 2 x+3
(c) x+2, x+1, x^2-1
(d) x+2 x, x^2-1

Passo 1

Estamos em P3, o espaço dos polinômios de grau <=3, que tem dimensão 4. Precisamos:
1. Verificar para cada conjunto se ele é linearmente independente, ou seja, se a única combinação que gera o polinômio zero é a combinação trivial.
2. Verificar quais desses conjuntos geram todo P3, ou seja, se seu span é P3.

Passo 2

Conjunto (a):
Isso dá
Para o polinômio ser identicamente zero,
Temos infinitas soluções (por exemplo , ), logo há combinação não trivial.
Portanto o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Conjunto (b): 2,;x^2,;2x+3.
Considere
acdot2 + bcdot x^2 + ccdot(2x+3)=0 ;Longrightarrow; b,x^2 + 2c,x + (2a+3c)=0
Igualando coeficientes:
b=0, 2c=0;Rightarrow;c=0, 2a+3c=0;Rightarrow;a=0
Só a solução trivial existe, logo é linearmente independente.

Passo 4

Conjunto (c): x+2,;x+1,;x^2-1.
Considere
a(x+2) + b(x+1) + c(x^2-1)=0 ;Longrightarrow; c,x^2 + (a+b)x + (2a+b-c)=0
Igualando coeficientes:
c=0, a+b=0, 2a+b-c=0
Dessas vem a=b=c=0. Só a trivial, logo é linearmente independente.

Passo 5

Conjunto (d): x+2x,;x^2-1=3x,;x^2-1.
Considere
acdot3x + bcdot(x^2-1) = 0 ;Longrightarrow; b,x^2 + 3a,x - b=0
Igualando coeficientes:
b=0, 3a=0;Rightarrow;a=0
Só a trivial, logo é linearmente independente.

Passo 6

Para gerar P3 (dimensão 4) é necessário ter pelo menos 4 vetores. Todos os conjuntos têm 3 ou 2 vetores, então nenhum pode gerar todo P3.

Resposta

(a) linearmente dependente
(b) linearmente independente
(c) linearmente independente
(d) linearmente independente
Nenhum dos conjuntos é gerador de P3.

Exercícios relacionados