Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em
? Justifique suas respostas.
12. Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para
? Justifique suas respostas.
(a)
(b)
(c)
(d)
12. Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Estamos em
, o espaço dos polinômios de grau
, que tem dimensão
. Precisamos:
. Verificar para cada conjunto se ele é linearmente independente, ou seja, se a única combinação que gera o polinômio zero é a combinação trivial.
. Verificar quais desses conjuntos geram todo
, ou seja, se seu span é
.
Passo 2
Conjunto (a):
Isso dá
Para o polinômio ser identicamente zero,
Temos infinitas soluções (por exemplo ,
), logo há combinação não trivial.
Portanto o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Conjunto (b):
.
Considere
Considere
Igualando coeficientes:
Só a solução trivial existe, logo é linearmente independente.
Passo 4
Conjunto (c):
.
Considere
Considere
Igualando coeficientes:
Dessas vem
. Só a trivial, logo é linearmente independente.
Passo 5
Conjunto (d):
.
Considere
Considere
Igualando coeficientes:
Só a trivial, logo é linearmente independente.
Passo 6
Para gerar
(dimensão
) é necessário ter pelo menos
vetores. Todos os conjuntos têm
ou
vetores, então nenhum pode gerar todo
.
Resposta
(a) linearmente dependente
(b) linearmente independente
(c) linearmente independente
(d) linearmente independente
(b) linearmente independente
(c) linearmente independente
(d) linearmente independente
Nenhum dos conjuntos é gerador de
.