Determine a \cdot b.
a=(s, 2 s, 3 s), \quad b=(t,-t,-5 t)

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \,a=(s,2s,3s)\, e \,b=(t,-t,-5t)\, e pede para determinar o produto escalar a\cdot b.
Informações relevantes dadas:
  • As componentes de a são \,a_1=s\,,\;a_2=2s\,,\;a_3=3s\,.
  • As componentes de b são \,b_1=t\,,\;b_2=-t\,,\;b_3=-5t\,.
  • Objetivo: calcular a\cdot b.

Passo 2

Recordando a definição do produto escalar (dot product) para vetores em \mathbb{R}^3: se u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), então
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
Explicação curta e intuitiva: multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados. Essa operação dá um número (escalar) e, geometricamente, está ligada às magnitudes dos vetores e ao cosseno do ângulo entre eles, mas para este problema basta usar a definição componente a componente.

Passo 3

Aplicando a definição aos vetores dados, calculamos cada produto componente a componente:
\text{primeira componente: } a_1 b_1 = s\cdot t = st,
\text{segunda componente: } a_2 b_2 = 2s\cdot(-t) = -2st,
\text{terceira componente: } a_3 b_3 = 3s\cdot(-5t) = -15st.

Passo 4

Somando os três termos obtidos:
a\cdot b = st + (-2st) + (-15st).

Passo 5

Fatorando st e somando os coeficientes:
a\cdot b = (1 - 2 - 15)\,st = -16\,st.

Passo 6

Interpretação final curta e dica para a prova: o resultado é proporcional a st. Se s=0 ou t=0 então a\cdot b=0. O sinal negativo indica que, para s e t de mesmo sinal, os vetores têm ângulo obtuso entre si (produto escalar negativo). Mas para resolver a questão basta chegar em -16\,st.

Resposta

-16\,st

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