determine se os vetores são linearmente dependentes ou independentes. Utilize essencialmente o método da inspeção - isto é, sem resolver um sistema linear de equações.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores
,
e
são linearmente dependentes ou independentes, usando essencialmente o método da inspeção. Em linhas gerais, vamos ver se há alguma coordenada em que apenas um vetor tenha entrada não nula, o que força o coeficiente desse vetor a ser zero numa combinação linear que dê o vetor nulo.
são linearmente dependentes ou independentes, usando essencialmente o método da inspeção. Em linhas gerais, vamos ver se há alguma coordenada em que apenas um vetor tenha entrada não nula, o que força o coeficiente desse vetor a ser zero numa combinação linear que dê o vetor nulo.
Passo 2
Observe a segunda coordenada:
tem entrada igual a
na segunda coordenada, enquanto
e
têm zero nessa posição.
Numa combinação
Numa combinação
a segunda coordenada fica
Passo 3
Agora olhe a terceira coordenada:
é o único com entrada não nula ali (igual a
), enquanto
e
têm zero.
Logo, na combinação que anula o vetor, ficamos com
Logo, na combinação que anula o vetor, ficamos com
Passo 4
Finalmente, na quarta coordenada apenas
contribui, pois tem entrada
ali e os outros dois vetores têm zero.
Isso garante
Isso garante
Passo 5
Como chegamos a
como única solução para
concluímos que não existe combinação linear não trivial que anule esses vetores.
Resposta
Os vetores são linearmente independentes.