determine se os vetores são linearmente dependentes ou independentes. Utilize essencialmente o método da inspeção - isto é, sem resolver um sistema linear de equações.
v1=(2,1,0,0), v2=(3,0,1,0), v3=(4,0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
v1=(2,1,0,0), v2=(3,0,1,0) e v3=(4,0,0,1)
são linearmente dependentes ou independentes, usando essencialmente o método da inspeção. Em linhas gerais, vamos ver se há alguma coordenada em que apenas um vetor tenha entrada não nula, o que força o coeficiente desse vetor a ser zero numa combinação linear que dê o vetor nulo.

Passo 2

Observe a segunda coordenada:
v1 tem entrada igual a 1 na segunda coordenada, enquanto v2 e v3 têm zero nessa posição.
Numa combinação
c1v1+c2v2+c3v3=0,
a segunda coordenada fica
c1cdot 1 + c2cdot 0 + c3cdot 0 = 0 Longrightarrow c1=0

Passo 3

Agora olhe a terceira coordenada:
v2 é o único com entrada não nula ali (igual a 1), enquanto v1 e v3 têm zero.
Logo, na combinação que anula o vetor, ficamos com
c1cdot 0 + c2cdot 1 + c3cdot 0 = 0 Longrightarrow c2=0

Passo 4

Finalmente, na quarta coordenada apenas v3 contribui, pois tem entrada 1 ali e os outros dois vetores têm zero.
Isso garante
c1cdot 0 + c2cdot 0 + c3cdot 1 = 0 Longrightarrow c3=0

Passo 5

Como chegamos a c1=c2=c3=0 como única solução para
c1v1+c2v2+c3v3=0,
concluímos que não existe combinação linear não trivial que anule esses vetores.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

Exercícios relacionados