Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que:
tem vértice na origem, passa no ponto (8,2) e tem reta focal paralela ao eixo X;

Passo 1

O enunciado pede a parábola de vértice em (0,0), que passa por (8,2) e cuja reta focal (latus rectum) é paralela ao eixo X. Vamos usar a forma canônica de parábola em geometria analítica e determinar os elementos principais: parâmetro p, foco, diretriz, latus rectum e eixo de simetria.

Passo 2

Como o latus rectum é paralelo ao eixo X, o eixo de simetria é vertical. A forma canônica é
x^2 = 4p,y

Passo 3

Substituindo o ponto (8,2) em x^2 = 4p,y:
8^2 = 4pcdot 2 Longrightarrow 64 = 8p Longrightarrow p = 8

Passo 4

Com p=8, a equação da parábola fica
x^2 = 32,y

Passo 5

O foco está a uma distância p do vértice ao longo do eixo de simetria (vertical), então
foco = (0,p) = (0,8)
A diretriz é a reta
y = -p = -8

Passo 6

O latus rectum é o segmento perpendicular ao eixo de simetria que passa pelo foco, com extremidades
(pm 2p,;p) = (pm 16,;8)
e comprimento 4p = 32. O eixo de simetria é a reta x=0.

Resposta

Equação: x^2 = 32y
Vértice: (0,0)
Foco: (0,8)
Diretriz: y = -8
Eixo de simetria: x = 0
Latus rectum: de (-16,8) a (16,8), compr. 32

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