Seja a função
g(x)=\int_{1}^{x^{2}}\left(t^{3 / 2}+3\right) d t.
a)Calcule g(1)
b)Usando o Teorema Fundamental do Cálculo
(TF1),determine g^{\prime}(x) e,em seguida,calcule g^{\prime}(1)

Passo 1

O enunciado define
g(x)=\int_{1}^{x^{2}}\bigl(t^{3/2}+3\bigr)\,dt
e pede (a) g(1) e (b) a derivada g'(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TF1), seguida de g'(1).

Passo 2

Para calcular g(1) basta notar que o limite superior é 1^2=1. Logo
g(1)=\int_{1}^{1}\bigl(t^{3/2}+3\bigr)\,dt=0.

Passo 3

Pelo TF1, se
G(x)=\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt
então
G'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui u(x)=x^2 e f(t)=t^{3/2}+3. Logo
g'(x)=\bigl((x^2)^{3/2}+3\bigr)\cdot2x.
Como para todo x temos (x^2)^{3/2}=|x|^3 e, em particular perto de x=1, |x|^3=x^3, podemos escrever
g'(x)=2x\bigl(x^3+3\bigr)=2x^4+6x.

Passo 4

Bast a avaliar em x=1:
g'(1)=2\cdot1^4+6\cdot1=2+6=8.

Resposta

g(1)=0 g'(x)=2x^4+6x g'(1)=8

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