Determine os vetores tangente e normal unitários
\mathrm{T}(\mathrm{t}) e \mathrm{N}(\mathrm{t}). Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
r(t)=(t, 3 \sin t, 3 \sin t)

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t) = (t,\;3\sin t,\;3\sin t)
e pede (1) o vetor tangente unitário \mathbf T(t), (2) o vetor normal unitário \mathbf N(t) e (3) a curvatura \kappa(t) usando a Fórmula 9
\kappa(t)=\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3}\,.

Passo 2

Calcular a derivada primeira:
r'(t) = \bigl(1,\;3\cos t,\;3\cos t\bigr).

Passo 3

Obter a norma de r'(t):
\|r'(t)\| = \sqrt{1 + (3\cos t)^2 + (3\cos t)^2} =\sqrt{1 + 9\cos^2 t +9\cos^2 t} =\sqrt{1 +18\cos^2 t}\,.

Passo 4

Formar o vetor tangente unitário
\mathbf T(t) =\frac{r'(t)}{\|r'(t)\|} =\frac{\bigl(1,\;3\cos t,\;3\cos t\bigr)}{\sqrt{1 +18\cos^2 t}}.

Passo 5

Calcular a derivada segunda:
r''(t) = \bigl(0,\;-3\sin t,\;-3\sin t\bigr).

Passo 6

Fazer o produto vetorial e sua norma:
r'(t)\times r''(t) =\det\begin{pmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & 3\cos t & 3\cos t\\\\ 0 & -3\sin t & -3\sin t \end{pmatrix} =(0,\;3\sin t,\;-3\sin t),
\|r'(t)\times r''(t)\| =\sqrt{0^2 + (3\sin t)^2 +(-3\sin t)^2} =3\sqrt{2}\,\bigl|\sin t\bigr|.

Passo 7

Aplicar a Fórmula 9 para a curvatura:
\kappa(t) =\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3} =\frac{3\sqrt2\,\bigl|\sin t\bigr|}{\bigl(\sqrt{1+18\cos^2 t}\bigr)^3} =\frac{3\sqrt2\,\bigl|\sin t\bigr|}{\bigl(1+18\cos^2 t\bigr)^{3/2}}.

Passo 8

Para achar \mathbf N(t), derivamos \mathbf T(t) e normalizamos:
\mathbf T'(t) =\frac{d}{dt}\Bigl[\frac{1}{\sqrt{1+18\cos^2 t}},\; \frac{3\cos t}{\sqrt{1+18\cos^2 t}},\; \frac{3\cos t}{\sqrt{1+18\cos^2 t}}\Bigr] =\frac{(18\cos t\sin t,\;-3\sin t,\;-3\sin t)}{(1+18\cos^2 t)^{3/2}}.
Logo
\|\mathbf T'(t)\| =\frac{3\,\bigl|\sin t\bigr|\sqrt{36\cos^2 t+2}}{(1+18\cos^2 t)^{3/2}}.
Assim
\mathbf N(t) =\frac{\mathbf T'(t)}{\|\mathbf T'(t)\|} =\frac{(18\cos t\sin t,\;-3\sin t,\;-3\sin t)}{3\,\bigl|\sin t\bigr|\sqrt{36\cos^2 t+2}} =\frac{\sin t}{|\sin t|}\, \frac{(6\cos t,\;-1,\;-1)}{\sqrt{36\cos^2 t+2}}.

Resposta

\mathbf T(t) =\frac{\bigl(1,\;3\cos t,\;3\cos t\bigr)}{\sqrt{1 +18\cos^2 t}},
\mathbf N(t) =\frac{\sin t}{|\sin t|}\, \frac{(6\cos t,\;-1,\;-1)}{\sqrt{36\cos^2 t+2}},
\kappa(t) =\frac{3\sqrt2\,\bigl|\sin t\bigr|}{\bigl(1+18\cos^2 t\bigr)^{3/2}}.

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