Determine os vetores tangente e normal unitários
\mathrm{T}(\mathrm{t}) e \mathrm{N}(\mathrm{t}). Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
r(t)=t \vec{i}+t \vec{j}+\left(1+t^{2}\right) \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os vetores tangente e normal unitários \mathrm{T}(t) e \mathrm{N}(t) da curva
r(t)=t\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{j}+(1+t^{2})\,\mathbf{k},
e em seguida usar a Fórmula 9 para obter a curvatura \kappa(t). Vamos precisar de derivadas de r(t), do módulo de r'(t), e das operações de derivação e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro calculamos
r'(t)=\bigl\langle 1,\,1,\,2t\bigr\rangle,
e seu módulo
\lvert r'(t)\rvert =\sqrt{1^{2}+1^{2}+(2t)^{2}} =\sqrt{2+4t^{2}}.
Logo o vetor tangente unitário é
\mathrm{T}(t) =\frac{r'(t)}{\lvert r'(t)\rvert} =\frac{\langle 1,\,1,\,2t\rangle}{\sqrt{2+4t^{2}}}.

Passo 3

Para obter o vetor normal, derivamos \mathrm{T}(t). Seja D(t)=\sqrt{2+4t^{2}}. Então
\mathrm{T}(t)=\bigl\langle D^{-1},\,D^{-1},\,2t\,D^{-1}\bigr\rangle.
Dessa forma
D'(t)=\frac{4t}{D}, \quad \mathrm{T}'(t) =\frac{4}{D^{3}}\bigl\langle -t,\,-t,\,1\bigr\rangle.

Passo 4

O módulo de \mathrm{T}'(t) é
\bigl\lvert \mathrm{T}'(t)\bigr\rvert =\frac{4}{D^{3}}\sqrt{(-t)^{2}+(-t)^{2}+1^{2}} =\frac{4\sqrt{2t^{2}+1}}{(\,2+4t^{2}\,)^{3/2}}
e assim o vetor normal unitário fica
\mathrm{N}(t) =\frac{\mathrm{T}'(t)}{\lvert \mathrm{T}'(t)\rvert} =\frac{\langle -t,\,-t,\,1\rangle}{\sqrt{2t^{2}+1}}.

Passo 5

Pela Fórmula 9, a curvatura é
\kappa(t) =\frac{\bigl\lvert r'(t)\times r''(t)\bigr\rvert}{\lvert r'(t)\rvert^{3}}.
Como
r''(t)=\langle 0,0,2\rangle, \quad r'(t)\times r''(t) =\bigl\langle 2,\,-2,\,0\bigr\rangle, \quad \bigl\lvert r'(t)\times r''(t)\bigr\rvert=2\sqrt{2},
e \lvert r'(t)\rvert=\sqrt{2+4t^{2}}, temos
\kappa(t) =\frac{2\sqrt{2}}{\bigl(\,2+4t^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{1}{\bigl(1+2t^{2}\bigr)^{3/2}}.

Resposta

\displaystyle \mathrm{T}(t)=\frac{\langle 1,\,1,\,2t\rangle}{\sqrt{2+4t^{2}}},\quad \mathrm{N}(t)=\frac{\langle -t,\,-t,\,1\rangle}{\sqrt{2t^{2}+1}},\quad \kappa(t)=\frac{1}{\bigl(1+2t^{2}\bigr)^{3/2}}.

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