Seja \vec{F}(t) uma força, dependendo do tempo t, que atua sobre uma partícula entre os instantes t_{1} e t_{2}. Supondo \vec{F} integrável em \left[t_{1}, t_{2}\right], o vetor
\vec{I}=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}(t) d t
denomina-se impulso de \vec{F} no intervalo de tempo \left[t_{1}, t_{2}\right]. Calcule o impulso de \vec{F} no intervalo de tempo dado.
F(t)=\frac{1}{1+t^{2}} \vec{i}+t^{2} \vec{j}+\vec{k} t_{1}=0 e t_{2}=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o impulso
\vec{I}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}(t)\,dt
da força
\vec{F}(t)=\frac{1}{1+t^{2}}\vec{i}+t^{2}\vec{j}+t\,\vec{k}
no intervalo \bigl[t_{1},t_{2}\bigr]=[0,1]. Vamos usar integração de cada componente vetorial.

Passo 2

Calculamos a componente em \vec{i}:
I_x=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt =\bigl[\arctan(t)\bigr]_{0}^{1} =\arctan(1)-\arctan(0) =\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Calculamos a componente em \vec{j}:
I_y=\int_{0}^{1}t^{2}\,dt =\bigl[\frac{t^{3}}{3}\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{3}-0 =\frac{1}{3}.

Passo 4

Calculamos a componente em \vec{k}:
I_z=\int_{0}^{1}t\,dt =\bigl[\frac{t^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}-0 =\frac{1}{2}.

Passo 5

Reunindo as três componentes, o impulso fica
\vec{I} =I_x\,\vec{i}+I_y\,\vec{j}+I_z\,\vec{k} =\frac{\pi}{4}\,\vec{i}+\frac{1}{3}\,\vec{j}+\frac{1}{2}\,\vec{k}.

Resposta

\vec{I}=\frac{\pi}{4}\,\vec{i}+\frac{1}{3}\,\vec{j}+\frac{1}{2}\,\vec{k}.

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