Q3. (2, 0 pontos) Use derivação logarítmica para calcular \frac{d y}{d x} se y=\sqrt[6]{\frac{x^{4}+3 x^{2}+1}{5 x^{2}+4}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \displaystyle y=\sqrt[6]{\frac{x^{4}+3x^{2}+1}{5x^{2}+4}}
usando derivação logarítmica. Vamos então aplicar o logaritmo natural em ambos os lados, usar a regra de derivação de \ln, a regra da cadeia e a derivada de logaritmo de quociente.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \frac{1}{6}\Bigl[\ln\bigl(x^{4}+3x^{2}+1\bigr)\;-\;\ln\bigl(5x^{2}+4\bigr)\Bigr].

Passo 3

Derivamos em relação a x. No lado esquerdo, \frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{y'}{y}. No direito, aplicamos a derivada de \ln(u) e a regra da cadeia:
\frac{y'}{y} =\frac{1}{6}\Biggl[\frac{4x^{3}+6x}{x^{4}+3x^{2}+1} \;-\;\frac{10x}{5x^{2}+4}\Biggr].

Passo 4

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y\;\cdot\;\frac{1}{6}\Biggl[\frac{4x^{3}+6x}{x^{4}+3x^{2}+1} \;-\;\frac{10x}{5x^{2}+4}\Biggr].
E lembramos que y=\sqrt[6]{\frac{x^{4}+3x^{2}+1}{5x^{2}+4}}.

Passo 5

Podemos simplificar fatores comuns: 4x^{3}+6x=2x(2x^{2}+3) e 10x=2\cdot5x. Logo
y' =\sqrt[6]{\frac{x^{4}+3x^{2}+1}{5x^{2}+4}}\;\Biggl[\frac{x(2x^{2}+3)}{3\bigl(x^{4}+3x^{2}+1\bigr)} \;-\;\frac{5x}{3\bigl(5x^{2}+4\bigr)}\Biggr].

Resposta

y' =\sqrt[6]{\frac{x^{4}+3x^{2}+1}{5x^{2}+4}}\;\Biggl[\frac{x(2x^{2}+3)}{3\bigl(x^{4}+3x^{2}+1\bigr)} \;-\;\frac{5x}{3\bigl(5x^{2}+4\bigr)}\Biggr].

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