Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde
na direção crescente de
.
.
Passo 1
O enunciado pede para reparametrizar a curva
em função do comprimento de arco medido desde t=0 em diante. O conteúdo envolvido é reparametrização por comprimento de arco, e vamos precisar calcular a derivada, o módulo dessa derivada, a integral para obter s(t), inverter essa relação e, por fim, substituir t(s) na curva original.
Passo 2
Primeiro, calculamos
. Derivando componente a componente:
Usando a regra do produto e a cadeia, obtemos
Passo 3
Agora calculamos o módulo de
:
Fatorando
e simplificando usando
, chegamos a
Passo 4
A definição de comprimento de arco a partir de
é
$$s(t)=\int_0t|r’(u)|,du=\int_0t2\sqrt2,e^{2u},du.
s(t)=2\sqrt2\cdot\frac{e{2u}}{2}\Big|_0t=\sqrt2\bigl(e^{2t}-1\bigr).
$$
Passo 5
Invertendo a relação
, isolamos
:
Substituímos na curva original para obter
.