Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t=0 na direção crescente de t.
.

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva
r(t)=e^2tcos(2t),i+e^2tsin(2t),k
em função do comprimento de arco medido desde t=0 em diante. O conteúdo envolvido é reparametrização por comprimento de arco, e vamos precisar calcular a derivada, o módulo dessa derivada, a integral para obter s(t), inverter essa relação e, por fim, substituir t(s) na curva original.

Passo 2

Primeiro, calculamos r'(t). Derivando componente a componente:
r'(t)=ddtl(e^2tcos2tr),i+ddtl(e^2tsin2tr),k
Usando a regra do produto e a cadeia, obtemos
r'(t)=e^2t(2cos2t-2sin2t),i+e^2t(2sin2t+2cos2t),k

Passo 3

Agora calculamos o módulo de r'(t):
|r'(t)|=e^2traiz(2cos2t-2sin2t)^2+(2sin2t+2cos2t)^2
Fatorando 2e^2t e simplificando usando cos^2+sin^2=1, chegamos a
|r'(t)|=2e^2traiz2=2raiz2,e^2t

Passo 4

A definição de comprimento de arco a partir de t=0 é
$$s(t)=\int_0t|r’(u)|,du=\int_0t2\sqrt2,e^{2u},du.
s(t)=integral0^t|r'(u)|,du=integral0^t2raiz2,e^2u,du
s(t)=2\sqrt2\cdot\frac{e{2u}}{2}\Big|_0t=\sqrt2\bigl(e^{2t}-1\bigr).
$$

Passo 5

Invertendo a relação s=raiz2(e^2t-1), isolamos t:
e^2t=1+sraiz2,2t=lnl(1+sraiz2r), t(s)=12lnl(1+sraiz2r)
Substituímos na curva original para obter r(s).

Resposta

r(s)=l(1+tfracsraiz2r)cosl(lnl(1+tfracsraiz2r)r),i+l(1+tfracsraiz2r)sinl(lnl(1+tfracsraiz2r)r),k, s>=0

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