Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).
r(t)=lang<= 2 sen t, 5 t, 2 cos trang<=

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t) da curva r(t)=lang<=2sin t,,5t,,2cos trang<=. O conteúdo é de cálculo vetorial, em particular derivadas de vetores e normalização. Vamos usar as fórmulas:
T(t)=r'(t)|r'(t)|
N(t)=T'(t)|T'(t)|

Passo 2

Vamos derivar r(t):
r'(t)=lang<=2cos t,,5,,-2sin trang<=
E o módulo:
|r'(t)|=raiz(2cos t)^2+5^2+(-2sin t)^2=raiz4(cos^2 t+sin^2 t)+25=raiz29

Passo 3

Dividindo r'(t) por |r'(t)|, obtemos o vetor tangente unitário:
T(t)=1raiz29lang<=2cos t,,5,,-2sin trang<=

Passo 4

Agora derivamos T(t):
T'(t)=ddtl(tfrac1raiz29lang<=2cos t,5,-2sin trang<=r)=1raiz29lang<=-2sin t,,0,,-2cos trang<=
E seu módulo:
|T'(t)|=1raiz29raiz4(sin^2 t+cos^2 t)=2raiz29

Passo 5

Finalmente, o vetor normal unitário é:
N(t)=T'(t)|T'(t)|=tfrac1raiz29lang<=-2sin t,0,-2cos trang<=2/raiz29=lang<=-sin t,0,-cos trang<=

Resposta

[
T(t)=\frac{1}{\sqrt{29}}\langle2\cos t,5,-2\sin t\rangle
]
[
N(t)=\langle-\sin t,0,-\cos t\rangle
]

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