Calcule os seguintes limites usando LHopital quando possível
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite
. Essa questão envolve cálculo de limites e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver. A Regra de L’Hôpital é útil quando encontramos indeterminações do tipo
ou
. Vamos precisar transformar a expressão para aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite de forma que fique uma fração, já que a Regra de L’Hôpital se aplica a limites de frações. Sabemos que
, então nosso limite fica:
Agora temos uma forma
, que é uma indicação perfeita para usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital uma vez. Para isso, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é (usando a regra da cadeia).
Então, o limite passa a ser:
Ainda temos a forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 4
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
O limite agora é:
Continuamos com a forma
, aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Mais uma vez, derivamos o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Agora, o limite fica:
Resposta
Conforme
tende ao infinito,
cresce muito mais rápido que qualquer potência de
, então o limite é: