Calcule os seguintes limites usando LHopital quando possível
lim x infty x^3 e^-4 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite . Essa questão envolve cálculo de limites e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver. A Regra de L’Hôpital é útil quando encontramos indeterminações do tipo ou . Vamos precisar transformar a expressão para aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite de forma que fique uma fração, já que a Regra de L’Hôpital se aplica a limites de frações. Sabemos que lim x infty x^3e^4x , então nosso limite fica:
Agora temos uma forma , que é uma indicação perfeita para usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital uma vez. Para isso, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador lim x infty 3x^24e^4x é .
  • Derivada do denominador é (usando a regra da cadeia).
Então, o limite passa a ser:
Ainda temos a forma , então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 4

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador lim x infty 6x16e^4x é .
  • Derivada do denominador é .
O limite agora é:
Continuamos com a forma , aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Mais uma vez, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador lim x infty 664e^4x = lim x infty 332e^4x é .
  • Derivada do denominador é .
Agora, o limite fica:

Resposta

Conforme 0 tende ao infinito, cresce muito mais rápido que qualquer potência de , então o limite é:

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