(a) lim x -infty(1+1x)^x+5
(d) lim x +infty(x+3x+2)^x
(b) lim x -infty(1+3x)^x
(e) lim x +infty(x-27x+1)^x
© lim x -infty(xx+1)^x
(f) lim x 0(1+2 x)^1x
(g) lim x 0(1+5 x)^4x

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar vários limites de tipo exponencial indeterminado, como (1+algo)^(algo) quando a variável vai a infinito ou zero. O conteúdo aqui é limites que envolvem a constante e e técnicas de logaritmo pra transformar a potência.

Passo 2

A ideia geral é: se temos L=limₓf(x)^{g(x)} com f(x)→1 e g(x)→±∞, então a gente faz ln L = limₓ g(x)·ln f(x). Se esse limite existir e for A, então L = e^A.

Passo 3

Item (a): L = lim_{x→-∞}(1+1/x)^{x+5}. Vamos ao logaritmo:
ln L = limx→-∞(x+5)lnl(1+tfrac1xr)
Como 1/x→0, usamos ln(1+u)=u - u²/2 + o(u²). Aqui u=1/x. Então
(x+5)lnl(1+tfrac1xr) = (x+5)l(tfrac1x - tfrac12x^2 + o(1/x^2)r) = 1 + tfrac5x - tfrac12x + o(1/x)
Quando x→-∞ isso vai a 1. Logo L=e^1=e.

Passo 4

Item (b): L = lim_{x→-∞}(1+3/x)^{x}. De novo:
ln L = xlnl(1+tfrac3xr) = xl(tfrac3x - tfrac92x^2+o(1/x^2)r) = 3 - tfrac92x + o(1/x) to 3
Logo L=e^3.

Passo 5

Item ©: L = lim_{x→-∞}(x/(x+1))^x. Note que x/(x+1)=1 - 1/(x+1) = 1 - 1/x + o(1/x). Então
ln L = xlnl(1 - tfrac1x + o(1/x)r) = xl(-tfrac1x - tfrac12x^2+o(1/x^2)r) = -1 - tfrac12x+o(1/x) to -1
Logo L=e^{-1}.

Passo 6

Item (d): L = lim_{x→+∞}((x+3)/(x+2))^x. Escreve (x+3)/(x+2)=1+1/(x+2). Então
ln L = xlnl(1+tfrac1x+2r) = xl(tfrac1x+2 + o(1/x)r) = tfracxx+2 + o(1) to 1
Logo L=e.

Passo 7

Item (e): L = lim_{x→+∞}((x-2/7)/(x+1))^x. Faz o log:
ln L = xl[lnl(1 - tfrac27xr) - lnl(1+tfrac1xr)r]
Usando expansões ln(1 - a/x)= -a/x - a²/(2x²)+…, ln(1+1/x)=1/x -1/(2x²)+…, subtraindo e multiplicando por x dá
ln L = xl(-tfrac27x - tfrac1x + o(1/x)r) = -tfrac27 - 1 + o(1) = -tfrac97
Assim L=e^{-9/7}.

Passo 8

Item (f): L = lim_{x→0}(1+2x)^{1/x}. Pegamos ln:
ln L = tfrac1xln(1+2x) = tfrac1xl(2x - tfrac(2x)^22+o(x^2)r) = 2 - 2x + o(x) to 2
Logo L=e^2.

Passo 9

Item (g): L = lim_{x→0}(1+5x)^{4/x}. De novo:
ln L = tfrac4xln(1+5x) = tfrac4xl(5x - tfrac(5x)^22+o(x^2)r) = 20 - 10x + o(x) to 20
Logo L=e^{20}.

Passo 10

Aplicando a técnica do logaritmo e a expansão de ln(1+u) em cada caso, achamos todos os limites.

Resposta

a) e
b) e^3
c) e^-1
d) e
e) e^-9/7
f) e^2
g) e^20

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