(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
(g)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
(g)
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar vários limites de tipo exponencial indeterminado, como (1+algo)^(algo) quando a variável vai a infinito ou zero. O conteúdo aqui é limites que envolvem a constante e e técnicas de logaritmo pra transformar a potência.
Passo 2
A ideia geral é: se temos L=limₓf(x)^{g(x)} com f(x)→1 e g(x)→±∞, então a gente faz ln L = limₓ g(x)·ln f(x). Se esse limite existir e for A, então L = e^A.
Passo 3
Item (a): L = lim_{x→-∞}(1+1/x)^{x+5}. Vamos ao logaritmo:
Como 1/x→0, usamos ln(1+u)=u - u²/2 + o(u²). Aqui u=1/x. Então
Quando x→-∞ isso vai a 1. Logo L=e^1=e.
Passo 4
Item (b): L = lim_{x→-∞}(1+3/x)^{x}. De novo:
Logo L=e^3.
Passo 5
Item ©: L = lim_{x→-∞}(x/(x+1))^x. Note que x/(x+1)=1 - 1/(x+1) = 1 - 1/x + o(1/x). Então
Logo L=e^{-1}.
Passo 6
Item (d): L = lim_{x→+∞}((x+3)/(x+2))^x. Escreve (x+3)/(x+2)=1+1/(x+2). Então
Logo L=e.
Passo 7
Item (e): L = lim_{x→+∞}((x-2/7)/(x+1))^x. Faz o log:
Usando expansões ln(1 - a/x)= -a/x - a²/(2x²)+…, ln(1+1/x)=1/x -1/(2x²)+…, subtraindo e multiplicando por x dá
Assim L=e^{-9/7}.
Passo 8
Item (f): L = lim_{x→0}(1+2x)^{1/x}. Pegamos ln:
Logo L=e^2.
Passo 9
Item (g): L = lim_{x→0}(1+5x)^{4/x}. De novo:
Logo L=e^{20}.
Passo 10
Aplicando a técnica do logaritmo e a expansão de ln(1+u) em cada caso, achamos todos os limites.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
b)
c)
d)
e)
f)
g)