Determine os vetores tangente
e normal
unitários à curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os vetores tangente unitário $ T(t) $ e normal unitário $ N(t) $ para a curva dada por $ \mathbf{r}(t) = \left(t, 1 - t, t^{2}\right) $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e normalização. Vamos precisar calcular a derivada da curva para achar o vetor tangente e depois normalizá-lo. Depois, para o vetor normal, vamos derivar o vetor tangente e também normalizar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor derivada da curva $ \mathbf{r}(t) $, que nos dá o vetor tangente não normalizado. A derivada de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $ é:
Passo 3
Agora, para obter o vetor tangente unitário $ T(t) $, precisamos normalizar $ \mathbf{r}’(t) $. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo. O módulo de $ \mathbf{r}’(t) $ é:
Então, o vetor tangente unitário $ T(t) $ é:
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor normal unitário $ N(t) $, precisamos derivar o vetor tangente $ T(t) $ em relação a $ t $ e, em seguida, normalizar esse novo vetor. Vamos derivar cada componente de $ T(t) $:
Usando a regra da cadeia, a derivada de $ \frac{1}{\sqrt{2 + 4t^{2}}} $ é $ \frac{-4t}{(2 + 4t{2}){3/2}} $ e a derivada de $ \frac{2t}{\sqrt{2 + 4t^{2}}} $ é $ \frac{2(2 + 4t^{2}) - 8t^{2}}{(2 + 4t{2}){3/2}} = \frac{4 - 4t^{2}}{(2 + 4t{2}){3/2}} $.
Então,
Passo 5
Agora precisamos normalizar $ \frac{d}{dt} T(t) $ para obter o vetor normal unitário $ N(t) $. Primeiro, calculamos o módulo deste vetor derivado:
Simplificando:
Então, o vetor normal unitário $ N(t) $ é:
Simplificando:
Resposta
Os vetores tangente e normal unitários à curva são: