Encontre uma parametrização para a curva que é interseção das superfícies z=x^2-y^2 e z=x^2+x y-1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies definidas pelas equações $ z = x^{2} - y^{2} $ e $ z = x^{2} + x y -1 $. Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para a curva onde essas duas superfícies se intersectam. Para isso, precisamos resolver o sistema dessas duas equações e expressar z = x^2 - y^2 , z = x^2 + x y -1 e x em termos de um parâmetro, que podemos chamar de y.

Passo 2

Como ambas as equações são iguais a z, podemos igualá-las:
x^2 - y^2 = x^2 + x y -1
Simplificando os termos:
- y^2 - x y +1 = 0
Ou seja,
y^2 + x y -1 = 0

Passo 3

Essa é uma equação quadrática em y. Vamos resolver para y em função de x usando a fórmula de Bhaskara. A equação é:
y^2 + x y -1 = 0
Aplicando a fórmula quadrática:
y = -x pm raiz x^2 + 4 2

Passo 4

Agora, escolhemos x como parâmetro. Vamos definir x = t, onde t é um número real que varia. Assim:
x = t
Substituindo na expressão de y:
y = -t pm raiz t^2 + 4 2

Passo 5

Com x = t e y definido acima, encontramos z substituindo x e y em uma das equações originais, por exemplo, $ z = x^{2} - y^{2} $:
z = x^2 - y^2
Simplificando:
z = t^2 - ( -t pm raiz t^2 + 4 2 )^2
Após simplificar mais os termos, obtemos a expressão completa para z = t^2 - t^2 + 2 t cdot (pm raiz t^2 + 4 ) + (t^2 + 4) 4 .

Resposta

Uma parametrização para a curva de interseção das superfícies é:
x = t y = dfrac -t pm raizt^2 + 4 2 z = t^2 - ( dfrac -t pm raizt^2 + 4 2 )^2

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