Encontre uma parametrização para a curva que é interseção das superfícies
e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies definidas pelas equações $ z = x^{2} - y^{2} $ e $ z = x^{2} + x y -1 $. Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para a curva onde essas duas superfícies se intersectam. Para isso, precisamos resolver o sistema dessas duas equações e expressar
,
e
em termos de um parâmetro, que podemos chamar de
.
Passo 2
Como ambas as equações são iguais a
, podemos igualá-las:
Simplificando os termos:
Ou seja,
Passo 3
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos resolver para
em função de
usando a fórmula de Bhaskara. A equação é:
Aplicando a fórmula quadrática:
Passo 4
Agora, escolhemos
como parâmetro. Vamos definir
, onde
é um número real que varia. Assim:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Com
e
definido acima, encontramos
substituindo
e
em uma das equações originais, por exemplo, $ z = x^{2} - y^{2} $:
Simplificando:
Após simplificar mais os termos, obtemos a expressão completa para
.
Resposta
Uma parametrização para a curva de interseção das superfícies é: