Determine os vetores tangentes para as curvas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os vetores tangentes da curva definida por:
Para encontrar o vetor tangente, vamos precisar derivar cada componente da função vetor em relação a $ t $. Isso envolve conhecimentos de derivadas e regras de derivação, como a regra do produto e a cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a primeira componente da curva:
Aqui, temos um produto de duas funções: $ 8 t^{4} $ e $ \sin{4}\left(t{2}\right) $. Usamos a regra do produto:
Derivando cada parte:
Para derivar $ \sin{4}\left(t{2}\right) $, usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos derivar a segunda componente:
A derivada é bem direta:
Passo 4
Vamos para a terceira componente:
Aqui, também temos um produto de duas funções: $ t $ e $ \cos \left(\ln \left(2 t^{3}\right)\right) $. Aplicamos a regra do produto:
Derivando cada parte:
Para derivar $ \cos \left(\ln \left(2 t^{3}\right)\right) $, usamos a regra da cadeia:
Derivando $ \ln \left(2 t^{3}\right) $:
Então:
Substituindo de volta em $ z’(t) $:
Resposta
O vetor tangente à curva $ \alpha(t) $ é dado por: