Determine os vetores tangentes para as curvas a seguir:
alpha(t)=(8 t^4 sen^4(t^2), t^2, t cos (ln (2 t^3))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os vetores tangentes da curva definida por:
alpha(t) = (8 t^4 sin^4(t^2), t^2, t cos (ln (2 t^3)))
Para encontrar o vetor tangente, vamos precisar derivar cada componente da função vetor em relação a $ t $. Isso envolve conhecimentos de derivadas e regras de derivação, como a regra do produto e a cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente da curva:
x(t) = 8 t^4 sin^4(t^2)
Aqui, temos um produto de duas funções: $ 8 t^{4} $ e $ \sin{4}\left(t{2}\right) $. Usamos a regra do produto:
8 t^4
Derivando cada parte:
sin^4(t^2)
Para derivar $ \sin{4}\left(t{2}\right) $, usamos a regra da cadeia:
x'(t) = ddt[8 t^4] cdot sin^4(t^2) + 8 t^4 cdot ddt[sin^4(t^2)]
Então, substituindo de volta:
ddt[8 t^4] = 32 t^3
Simplificando:
sin^4(t^2)

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda componente:
y(t) = t^2
A derivada é bem direta:
y'(t) = 2t

Passo 4

Vamos para a terceira componente:
z(t) = t cos (ln (2 t^3))
Aqui, também temos um produto de duas funções: $ t $ e $ \cos \left(\ln \left(2 t^{3}\right)\right) $. Aplicamos a regra do produto:
t
Derivando cada parte:
cos (ln (2 t^3))
Para derivar $ \cos \left(\ln \left(2 t^{3}\right)\right) $, usamos a regra da cadeia:
z'(t) = ddt[t] cdot cos (ln (2 t^3)) + t cdot ddt[cos (ln (2 t^3))]
Derivando $ \ln \left(2 t^{3}\right) $:
ddt[t] = 1
Então:
cos (ln (2 t^3))
Substituindo de volta em $ z’(t) $:
ddt[cos (ln (2 t^3))] = -sin (ln (2 t^3)) cdot ddt[ln (2 t^3)]

Resposta

O vetor tangente à curva $ \alpha(t) $ é dado por:
alpha(t)

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