Determine os vetores tangentes para as curvas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre encontrar os vetores tangentes de uma curva dada de forma paramétrica. A curva é representada por
. Para achar os vetores tangentes, a gente precisa calcular a derivada de cada componente da função em relação a
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a primeira componente:
. Lembra que a derivada da tangente é
. Aqui,
, então
. Então, a derivada fica:
(Observação:
porque a função secante é par.)
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. A derivada disso é mais direta:
Passo 4
Por último, vamos derivar a terceira componente:
. A derivada de uma exponencial com função no expoente usa a regra da cadeia. Temos:
Resposta
Então, juntando as derivadas que encontramos, o vetor tangente à curva
é: