Determine os vetores tangentes para as curvas a seguir:
beta(t)=(tg(-t^2),-t^3, e^4 t^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre encontrar os vetores tangentes de uma curva dada de forma paramétrica. A curva é representada por beta(t) = (tg(-t^2), -t^3, e^4 t^2). Para achar os vetores tangentes, a gente precisa calcular a derivada de cada componente da função em relação a t. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente: tg(-t^2). Lembra que a derivada da tangente é ddttg(u) = sec^2(u) cdot dudt. Aqui, u = -t^2, então dudt = -2t. Então, a derivada fica:
ddttg(-t^2) = sec^2(-t^2) cdot (-2t) = -2t, sec^2(t^2)
(Observação: sec(-x) = sec(x) porque a função secante é par.)

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: -t^3. A derivada disso é mais direta:
ddt(-t^3) = -3t^2

Passo 4

Por último, vamos derivar a terceira componente: e^4 t^2. A derivada de uma exponencial com função no expoente usa a regra da cadeia. Temos:
ddte^4 t^2 = e^4 t^2 cdot ddt(4 t^2) = e^4 t^2 cdot 8t = 8t, e^4 t^2

Resposta

Então, juntando as derivadas que encontramos, o vetor tangente à curva beta(t) é:
beta'(t) = (-2t, sec^2(t^2), -3t^2, 8t, e^4 t^2)

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