Determine os vetores velocidade e aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá a função posição de uma partícula
\mathbf{r}(t)=\langle t,\;t^{2},\;t^{3}\rangle
e pede o vetor velocidade, o vetor aceleração e a velocidade escalar. O conteúdo necessário é a derivação componente a componente de funções vetoriais.

Passo 2

Para obter o vetor velocidade, derivamos cada componente de \mathbf{r}(t) em relação a t:
\mathbf{v}(t)=\frac{d}{dt}\langle t,\;t^{2},\;t^{3}\rangle =\langle 1,\;2t,\;3t^{2}\rangle.

Passo 3

Para obter o vetor aceleração, derivamos cada componente de \mathbf{v}(t) em relação a t:
\mathbf{a}(t)=\frac{d}{dt}\langle 1,\;2t,\;3t^{2}\rangle =\langle 0,\;2,\;6t\rangle.

Passo 4

A velocidade escalar é o módulo de \mathbf{v}(t), ou seja
v_{\text{esc}}(t)=\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{1^{2}+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}} =\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}.

Resposta

\mathbf{v}(t)=\langle 1,\;2t,\;3t^{2}\rangle \mathbf{a}(t)=\langle 0,\;2,\;6t\rangle v_{\text{esc}}(t)=\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}

Exercícios relacionados