Qual é a derivada parcial \frac{h}{\partial z} da função h(x, y, z)=\operatorname{sen}\left(x^{2}-y^{2}+z^{2}\right) ?
a. 2 z \cdot \cos \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)
b. \cos (2 z)
c. 2 y \cdot \cos \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)
d. 2 x \cdot \cos \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)
e. \cos \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial \displaystyle \frac{\partial h}{\partial z}
da função
h(x,y,z)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-y^{2}+z^{2}\bigr).
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia para derivada de função composta.

Passo 2

Definimos o interior da função trigonométrica como
u(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z^{2}.
Então
h(x,y,z)=\operatorname{sen}\bigl(u(x,y,z)\bigr).
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial h}{\partial z} =\cos\bigl(u(x,y,z)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial z}.

Passo 3

Calculamos
\frac{\partial u}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}-y^{2}+z^{2}\bigr) =2z.

Passo 4

Substituindo em (Passo 2):
\frac{\partial h}{\partial z} =2z\;\cos\bigl(x^{2}-y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 5

Comparando com as alternativas, a que contém o fator 2z multiplicando \cos é a letra (a) (note que ela usa x^{2}+y^{2}+z^{2} no cosseno, mas é o único caso com 2z\cos(\cdot), que coincide com o resultado esperado, admitindo-se provável typo no enunciado).

Resposta

(a) 2 z · cos ( x^{2} + y^{2} + z^{2})

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