Determine os vetores velocidade e aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
\mathbf{r}(t)=\sqrt{2} t \mathbf{i}+e^{t} \mathbf{j}+e^{-t} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado nos dá a função posição
\mathbf{r}(t)=\sqrt{2}\,t\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}+e^{-t}\,\mathbf{k}
e pede o vetor velocidade \mathbf{v}(t), o vetor aceleração \mathbf{a}(t) e a velocidade escalar \|\mathbf{v}(t)\|. Para isso, usaremos a derivada componente a componente (derivada de t, de e^{t} e de e^{-t}) e, em seguida, o cálculo do módulo de um vetor.

Passo 2

Derivando termo a termo obtemos o vetor velocidade e, em seguida, derivamos \mathbf{v}(t) para encontrar a aceleração.
O vetor velocidade é
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt} =\sqrt{2}\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}-e^{-t}\,\mathbf{k}.
O vetor aceleração é
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt} =0\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}+e^{-t}\,\mathbf{k} =e^{t}\,\mathbf{j}+e^{-t}\,\mathbf{k}.

Passo 3

A velocidade escalar é o módulo de \mathbf{v}(t). Calculando
\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}+\bigl(e^{t}\bigr)^{2}+\bigl(-e^{-t}\bigr)^{2}} =\sqrt{2+e^{2t}+e^{-2t}}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}(t)=\sqrt{2}\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}-e^{-t}\,\mathbf{k}. \displaystyle \mathbf{a}(t)=e^{t}\,\mathbf{j}+e^{-t}\,\mathbf{k}. \displaystyle \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{2+e^{2t}+e^{-2t}}.

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