Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula com aceleração
,
e
.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede-se determinar os vetores velocidade e posição da partícula como funções do tempo.
- Dados fornecidos (peguei isso do enunciado):
- A aceleração é
. Ou seja, as componentes são , e . - Condição inicial da velocidade:
. Ou seja, , , . - Condição inicial da posição:
. Ou seja, , , .
- A aceleração é
Passo 2
Plano de resolução (fórmula e ideia básica).
- A velocidade é a integral da aceleração: para uma função de tempo, pode-se escrever
Aqui
é a aceleração em função do parâmetro de integração
e a integral é feita componente a componente.
- A posição é a integral da velocidade:
- Em palavras: integrar cada componente de
para obter cada componente de , usando as condições iniciais para determinar constantes; depois integrar cada componente de para obter cada componente de .
Passo 3
Integração da componente
da aceleração para achar
.
- Temos
. - Integrando de
a :
- Calcule a integral:
- Como
, obtemos
Passo 4
Integração da componente
da aceleração para achar
.
- Temos
. - Integrando de
a :
- Calcule a integral (usar a regra
):
- Como
, obtemos
Passo 5
Integração da componente
da aceleração para achar
.
- Temos
. - Integrando de
a :
- Calcule a integral (usar
):
- Como
, obtemos
Passo 6
Escrever o vetor velocidade completo.
- Juntando as componentes calculadas:
- Verificação rápida: em
obtém-se , que confere com a condição inicial.
Passo 7
Agora integrar a velocidade para obter a posição: componente
.
- Fórmula:
- Substituir
:
- Calcule a integral:
- Assim,
Passo 8
Integrar a componente
da velocidade para achar
.
- Fórmula:
- Substituir
e usar :
- Calcule a integral:
- Resultado:
Passo 9
Integrar a componente
da velocidade para achar
.
- Fórmula:
- Substituir
e :
- Calcule a integral (usar
):
- Resultado:
Passo 10
Escrever o vetor posição completo e verificar iniciais.
- Juntando as componentes:
- Verificação rápida: em
obtemos , que confere com a condição inicial.