Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula com aceleração \mathrm{a}(\mathrm{t})=(1, \left.6 \mathrm{t}, 12 \mathrm{t}^{2}\right), \mathrm{v}(0)=(1,0,0) e \mathrm{r}(0)=(0,1,0).

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se determinar os vetores velocidade e posição da partícula como funções do tempo.
  • Dados fornecidos (peguei isso do enunciado):
    • A aceleração é \mathbf{a}(t)=(1,\,6t,\,12t^{2}). Ou seja, as componentes são \\ a_x(t)=1, \\ a_y(t)=6t e \\ a_z(t)=12t^{2}.
    • Condição inicial da velocidade: \mathbf{v}(0)=(1,0,0). Ou seja, \\ v_x(0)=1, \\ v_y(0)=0, \\ v_z(0)=0.
    • Condição inicial da posição: \mathbf{r}(0)=(0,1,0). Ou seja, \\ r_x(0)=0, \\ r_y(0)=1, \\ r_z(0)=0.

Passo 2

Plano de resolução (fórmula e ideia básica).
  • A velocidade é a integral da aceleração: para uma função de tempo, pode-se escrever
\mathbf{v}(t)=\mathbf{v}(0)+\int_{0}^{t}\mathbf{a}(s)\,ds.
Aqui \mathbf{a}(s) é a aceleração em função do parâmetro de integração s e a integral é feita componente a componente.
  • A posição é a integral da velocidade:
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(0)+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(s)\,ds.
  • Em palavras: integrar cada componente de \mathbf{a} para obter cada componente de \mathbf{v}, usando as condições iniciais para determinar constantes; depois integrar cada componente de \mathbf{v} para obter cada componente de \mathbf{r}.

Passo 3

Integração da componente x da aceleração para achar v_x(t).
  • Temos \\ a_x(t)=1.
  • Integrando de 0 a t:
v_x(t)=v_x(0)+\int_{0}^{t}1\,ds.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{t}1\,ds = t.
  • Como \\ v_x(0)=1, obtemos
v_x(t)=1+t.

Passo 4

Integração da componente y da aceleração para achar v_y(t).
  • Temos \\ a_y(t)=6t.
  • Integrando de 0 a t:
v_y(t)=v_y(0)+\int_{0}^{t}6s\,ds.
  • Calcule a integral (usar a regra \int s\,ds = s^{2}/2):
\int_{0}^{t}6s\,ds = 6\cdot\frac{t^{2}}{2}=3t^{2}.
  • Como \\ v_y(0)=0, obtemos
v_y(t)=3t^{2}.

Passo 5

Integração da componente z da aceleração para achar v_z(t).
  • Temos \\ a_z(t)=12t^{2}.
  • Integrando de 0 a t:
v_z(t)=v_z(0)+\int_{0}^{t}12s^{2}\,ds.
  • Calcule a integral (usar \int s^{2}ds = s^{3}/3):
\int_{0}^{t}12s^{2}\,ds = 12\cdot\frac{t^{3}}{3}=4t^{3}.
  • Como \\ v_z(0)=0, obtemos
v_z(t)=4t^{3}.

Passo 6

Escrever o vetor velocidade completo.
  • Juntando as componentes calculadas:
\mathbf{v}(t)=(1+t,\,3t^{2},\,4t^{3}).
  • Verificação rápida: em t=0 obtém-se \mathbf{v}(0)=(1,0,0), que confere com a condição inicial.

Passo 7

Agora integrar a velocidade para obter a posição: componente x.
  • Fórmula:
r_x(t)=r_x(0)+\int_{0}^{t}v_x(s)\,ds.
  • Substituir v_x(s)=1+s:
r_x(t)=0+\int_{0}^{t}(1+s)\,ds.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{t}(1+s)\,ds = \left[s+\frac{s^{2}}{2}\right]_{0}^{t}=t+\frac{t^{2}}{2}.
  • Assim,
r_x(t)=t+\frac{t^{2}}{2}.

Passo 8

Integrar a componente y da velocidade para achar r_y(t).
  • Fórmula:
r_y(t)=r_y(0)+\int_{0}^{t}v_y(s)\,ds.
  • Substituir v_y(s)=3s^{2} e usar r_y(0)=1:
r_y(t)=1+\int_{0}^{t}3s^{2}\,ds.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{t}3s^{2}\,ds = 3\cdot\frac{t^{3}}{3}=t^{3}.
  • Resultado:
r_y(t)=1+t^{3}.

Passo 9

Integrar a componente z da velocidade para achar r_z(t).
  • Fórmula:
r_z(t)=r_z(0)+\int_{0}^{t}v_z(s)\,ds.
  • Substituir v_z(s)=4s^{3} e r_z(0)=0:
r_z(t)=\int_{0}^{t}4s^{3}\,ds.
  • Calcule a integral (usar \int s^{3}ds = s^{4}/4):
\int_{0}^{t}4s^{3}\,ds = 4\cdot\frac{t^{4}}{4}=t^{4}.
  • Resultado:
r_z(t)=t^{4}.

Passo 10

Escrever o vetor posição completo e verificar iniciais.
  • Juntando as componentes:
\mathbf{r}(t)=\Bigl(t+\frac{t^{2}}{2},\;1+t^{3},\;t^{4}\Bigr).
  • Verificação rápida: em t=0 obtemos \mathbf{r}(0)=(0,1,0), que confere com a condição inicial.

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}(t)=(1+t,\;3t^{2},\;4t^{3})
\displaystyle \mathbf{r}(t)=\Bigl(t+\frac{t^{2}}{2},\;1+t^{3},\;t^{4}\Bigr)

Exercícios relacionados