Determine o volume do cone reto de raio de base r e altura h usando o Teorema de Pappus-Guldin.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um cone reto de raio de base r e altura h usando o Teorema de Pappus–Guldin. Vamos gerar o cone pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo externo e aplicar o teorema que diz que o volume é a área da região geratriz vezes a distância percorrida pelo seu centróide.

Passo 2

A região geratriz é o triângulo de vértices (0,0), (r,0) e (0,h).
A área desse triângulo é
A = 12,r,h
O centróide desse triângulo tem coordenadas
bar x = r3, bar y = h3

Passo 3

Pelo Teorema de Pappus–Guldin, o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo y é
V = A times d,
onde d é o comprimento da trajetória circular do centróide.

Passo 4

O centróide está a uma distância bar x = tfracr3 do eixo y, logo descreve uma circunferência de raio tfracr3. Seu comprimento é
d = 2pi ,r3 = 2pi r3

Passo 5

Substituindo A e d na fórmula de Pappus,
V = 12,r,h ;times;2pi r3 ;=; pi,r^2,h3

Resposta

V = pi,r^2,h3

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