Determine o volume do cone reto de raio de base
e altura
usando o Teorema de Pappus-Guldin.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um cone reto de raio de base
e altura
usando o Teorema de Pappus–Guldin. Vamos gerar o cone pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo externo e aplicar o teorema que diz que o volume é a área da região geratriz vezes a distância percorrida pelo seu centróide.
Passo 2
A região geratriz é o triângulo de vértices
,
e
.
A área desse triângulo é
A área desse triângulo é
O centróide desse triângulo tem coordenadas
Passo 3
Pelo Teorema de Pappus–Guldin, o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo
é
onde
é o comprimento da trajetória circular do centróide.
Passo 4
O centróide está a uma distância
do eixo
, logo descreve uma circunferência de raio
. Seu comprimento é
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula de Pappus,