Determine o volume do conjunto dado. é o tetraedro sólido com vértices e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um tetraedro chamado , que tem os vértices nas coordenadas , , e . A matéria envolvida aqui é Geometria Espacial, e para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do volume de um tetraedro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o volume de um tetraedro quando conhecemos as coordenadas dos seus quatro vértices. A fórmula é baseada em determinantes e é dada por:
Essa fórmula calcula o volume usando as diferenças das coordenadas dos vértices em relação a um ponto de referência, que geralmente é um dos vértices do tetraedro.
Passo 3
Vamos escolher o vértice (0,0,0) como o ponto de referência (x1, y1, z1). Assim, as outras coordenadas serão:
(x2, y2, z2) = (1,0,0)
(x3, y3, z3) = (0,2,0)
(x4, y4, z4) = (0,0,3)
Agora, vamos calcular as diferenças:
x2 - x1 = 1 - 0 = 1
y2 - y1 = 0 - 0 = 0
z2 - z1 = 0 - 0 = 0
x3 - x1 = 0 - 0 = 0
y3 - y1 = 2 - 0 = 2
z3 - z1 = 0 - 0 = 0
x4 - x1 = 0 - 0 = 0
y4 - y1 = 0 - 0 = 0
z4 - z1 = 3 - 0 = 3
Passo 4
Agora, vamos montar o determinante com essas diferenças:
1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
Como essa matriz é diagonal, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal: