Determine o volume do conjunto dado.
B é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,2,0) e (0,0,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um tetraedro chamado B, que tem os vértices nas coordenadas (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3). A matéria envolvida aqui é Geometria Espacial, e para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do volume de um tetraedro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o volume de um tetraedro quando conhecemos as coordenadas dos seus quatro vértices. A fórmula é baseada em determinantes e é dada por:
V = 16 | x2 - x1 & y2 - y1 & z2 - z1 x3 - x1 & y3 - y1 & z3 - z1 x4 - x1 & y4 - y1 & z4 - z1 |
Essa fórmula calcula o volume usando as diferenças das coordenadas dos vértices em relação a um ponto de referência, que geralmente é um dos vértices do tetraedro.

Passo 3

Vamos escolher o vértice (0,0,0) como o ponto de referência (x1, y1, z1). Assim, as outras coordenadas serão:
  • (x2, y2, z2) = (1,0,0)
  • (x3, y3, z3) = (0,2,0)
  • (x4, y4, z4) = (0,0,3)
Agora, vamos calcular as diferenças:
  • x2 - x1 = 1 - 0 = 1
  • y2 - y1 = 0 - 0 = 0
  • z2 - z1 = 0 - 0 = 0
  • x3 - x1 = 0 - 0 = 0
  • y3 - y1 = 2 - 0 = 2
  • z3 - z1 = 0 - 0 = 0
  • x4 - x1 = 0 - 0 = 0
  • y4 - y1 = 0 - 0 = 0
  • z4 - z1 = 3 - 0 = 3

Passo 4

Agora, vamos montar o determinante com essas diferenças:
1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
Como essa matriz é diagonal, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Determinante = 1 times 2 times 3 = 6

Passo 5

Aplicando a fórmula do volume:
V = 16 times |6| = 16 times 6 = 1

Resposta

O volume do tetraedro B é 1 unidade cúbica.

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