Determine o volume do conjunto
0 <= x <= 1,0 <= y <= x^2, 0 <= z <= x+y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
0 <= x <= 1, 0 <= y <= x^2, 0 <= z <= x + y^2
Como estamos em R^3, usamos um integral triplo em coordenadas cartesianas, integrando na ordem z, depois y e por fim x.

Passo 2

Escrevemos o volume como
V = integralx=0^1integraly=0^x^2integralz=0^,x+y^2 !dz,dy,dx

Passo 3

Integramos em z, que é simples porque o integrando é 1:
integralz=0^x+y^2dz = x + y^2
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V = integral0^1integral0^x^2l(x + y^2r),dy,dx

Passo 4

Separamos a integral em y:
integral0^x^2l(x + y^2r)dy = integral0^x^2x,dy + integral0^x^2y^2,dy = xl[yr]0^x^2 + l[tfracy^33r]0^x^2 = xcdot x^2 + (x^2)^33 = x^3 + x^63
Portanto
V = integral0^1l(x^3 + tfracx^63r),dx

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^1x^3dx = 14, integral0^1x^6dx = 17,
então
V = 14 + 13,cdot17 = 14 + 121 = 21 + 484 = 2584

Resposta

2584

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