Encontre a solução geral para a equação diferencial dada (Use: coeficientes a determinar).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é equações diferenciais lineares não homogêneas. Vamos encontrar a solução geral
, onde
é a solução da homogênea e
é uma particular obtida pelo método de coeficientes a determinar.
Passo 2
Para a parte homogênea, multiplica-se a equação por
para simplificar:
A equação característica é
que tem raiz dupla
. Logo
Passo 3
Para achar
, notamos que o termo não homogêneo é o polinômio
. Propomos
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
(a forma multiplicada por 4) obtemos
Esse resultado deve igualar
.
Passo 4
Igualando coeficientes em
vem
Dessas equações segue
Portanto