Encontre a solução geral para a equação diferencial dada (Use: coeficientes a determinar).
14 y^prime prime+y^prime+y=6 x^2-x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
14y'' + y' + y = 6x^2 - x
O conteúdo é equações diferenciais lineares não homogêneas. Vamos encontrar a solução geral y(x)=yh(x)+yp(x), onde yh é a solução da homogênea e yp é uma particular obtida pelo método de coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea, multiplica-se a equação por 4 para simplificar:
y'' + 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0
que tem raiz dupla r=-2. Logo
yh(x) = (C1 + C2,x)e^-2x

Passo 3

Para achar yp, notamos que o termo não homogêneo é o polinômio 6x^2 - x. Propomos
yp = A x^2 + B x + C
Calculamos as derivadas:
yp' = 2Ax + B, yp'' = 2A
Substituindo em y'' +4y' +4y (a forma multiplicada por 4) obtemos
yp'' + 4yp' + 4yp =2A + 4(2Ax + B) + 4(Ax^2 + Bx + C) =4A x^2 + (8A + 4B)x + (2A + 4B + 4C)
Esse resultado deve igualar 24x^2 - 4x.

Passo 4

Igualando coeficientes em
4A x^2 + (8A + 4B)x + (2A + 4B + 4C) = 24x^2 - 4x + 0
vem
4A = 24, 8A + 4B = -4, 2A + 4B + 4C = 0
Dessas equações segue
A = 6, B = -13, C = 10
Portanto
yp(x) = 6x^2 - 13x + 10

Resposta

y(x) = (C1 + C2,x)e^-2x + 6x^2 - 13x + 10

Exercícios relacionados