Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
,
sabendo que apresenta na sua base de solução o termo
e
sabendo que apresenta na sua base de solução o termo
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem cinco com coeficientes constantes
O método envolve escrever a equação característica associada, encontrar todas as raízes (incluindo multiplicidades) e então montar a solução geral usando exponenciais e, em caso de raízes de multiplicidade maior que 1, fatores polinomiais em
.
Passo 2
Escrevemos a equação característica trocando
por
:
Sabemos que
são raízes.
Passo 3
Agrupamos os fatores conhecidos
,
e
. Primeiro notamos
então
Dividindo o polinômio característico por
, encontramos que o quociente é novamente
. Logo
Passo 4
Da fatoração
vemos as raízes:
Para cada raiz real de multiplicidade
usamos as soluções
.
Passo 5
As soluções fundamentais são
Assim, a solução geral é combinação linear desses cinco termos.
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.