Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
d^5 yd x^5+5 d^4 yd x^4-2 d^3 yd x^3-10 d^2 yd x^2+d yd x+5 y=0,
sabendo que apresenta na sua base de solução o termo e^-x, e^x e e^-5 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem cinco com coeficientes constantes
d^5ydx^5 + 5d^4ydx^4 - 2d^3ydx^3 - 10d^2ydx^2 + dydx + 5y = 0
O método envolve escrever a equação característica associada, encontrar todas as raízes (incluindo multiplicidades) e então montar a solução geral usando exponenciais e, em caso de raízes de multiplicidade maior que 1, fatores polinomiais em x.

Passo 2

Escrevemos a equação característica trocando y^(k) por r^k:
r^5 + 5r^4 - 2r^3 - 10r^2 + r + 5 = 0
Sabemos que r=-1,;r=1,;r=-5 são raízes.

Passo 3

Agrupamos os fatores conhecidos (r-1), (r+1) e (r+5). Primeiro notamos
(r-1)(r+1) = r^2-1,
então
(r^2-1)(r+5)=r^3+5r^2-r-5
Dividindo o polinômio característico por l(r^2-1r)(r+5), encontramos que o quociente é novamente r^2-1. Logo
r^5 + 5r^4 - 2r^3 - 10r^2 + r + 5 = (r^2-1)^2(r+5)

Passo 4

Da fatoração (r^2-1)^2(r+5)=(r-1)^2(r+1)^2(r+5) vemos as raízes:
r=1(mu<iplicidade 2), r=-1(mu<iplicidade 2), r=-5(mu<iplicidade 1)
Para cada raiz real de multiplicidade m usamos as soluções e^r x,,x e^r x,dots,x^m-1e^r x.

Passo 5

As soluções fundamentais são
e^x,;x e^x,;e^-x,;x e^-x,;e^-5x
Assim, a solução geral é combinação linear desses cinco termos.

Resposta

y(x) = C1e^x + C2,x e^x + C3e^-x + C4,x e^-x + C5e^-5x,
onde C1,C2,C3,C4,C5 são constantes arbitrárias.

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