es tāo 4: A solução do problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+4 y=\sin (t)-\sin (t) u_{2 \pi}(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 é:
a. \frac{1}{3}\left(1+u_{2 \pi}(t)\right)(2 \sin t-\sin 2 t)
b. \frac{1}{6}\left(1-u_{2 \pi}(t)\right)(2 \sin t+\sin 2 t)
c. \frac{1}{6}\left(1-u_{2 \pi}(t)\right)(2 \sin t-\sin 2 t)
d. \frac{1}{3}\left(1-u_{2 \pi}(t)\right)(2 \sin t-\sin 2 t)
e. \frac{1}{6}\left(1+u_{2 \pi}(t)\right)(2 \sin t-\sin 2 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + 4y = \sin(t) - \sin(t)\,u_{2\pi}(t), \quad y(0)=0,\;y'(0)=0,
onde u_{2\pi}(t) é o degrau unitário em t=2\pi. O que isso significa é que para 0\le t<2\pi a força é \sin(t) e, para t\ge2\pi, a força zero. Vamos então resolver em duas regiões: (i) 0\le t<2\pi com forçamento \sin(t), e (ii) t\ge2\pi com forçamento zero, usando continuidade de y e y' em t=2\pi.

Passo 2

Para 0\le t<2\pi resolvemos
y'' + 4y = \sin(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
Procuramos a solução geral y_1(t)=y_h(t)+y_p(t). A homogênea é
y_h(t)=C\cos(2t)+D\sin(2t).
Para a particular supomos y_p=A\sin(t)+B\cos(t). Substituindo em y''+4y=\sin(t)
(-A\sin t - B\cos t)+4(A\sin t+B\cos t)=3A\sin t+3B\cos t=\sin t,
logo 3A=1\Rightarrow A=\tfrac13 e 3B=0\Rightarrow B=0. Assim
y_1(t)=C\cos(2t)+D\sin(2t)+\tfrac13\sin t.
Impondo y_1(0)=0 e y_1'(0)=0:
y_1(0)=C+0+0=0\;\Rightarrow\;C=0,
y_1'(t)=-2C\sin(2t)+2D\cos(2t)+\tfrac13\cos t \;\Rightarrow\;y_1'(0)=2D+\tfrac13=0\;\Rightarrow\;D=-\tfrac16.
Fica
y_1(t)=\tfrac13\sin t-\tfrac16\sin(2t) =\tfrac16\bigl(2\sin t-\sin2t\bigr)\quad(0\le t<2\pi).

Passo 3

Agora, para t\ge2\pi, o forçamento é zero, então a solução é puramente homogênea
y_2(t)=E\cos(2t)+F\sin(2t).
As condições de “continuidade” em t=2\pi são
y_2(2\pi)=y_1(2\pi),\quad y_2'(2\pi)=y_1'(2\pi).
Como \sin(2\pi)=\sin(4\pi)=0, temos y_1(2\pi)=0. E
y_1'(t)=\tfrac13\cos t-\tfrac13\cos(2t) \;\Rightarrow\;y_1'(2\pi)=\tfrac13\cdot1-\tfrac13\cdot1=0.
Então
E\cos(4\pi)+F\sin(4\pi)=E=0, \quad y_2'(2\pi)=-2E\sin(4\pi)+2F\cos(4\pi)=2F=0\;\Rightarrow\;F=0.
Logo y_2(t)\equiv0 para t\ge2\pi.

Passo 4

Juntando as duas regiões,
y(t)= \begin{cases} \tfrac16\bigl(2\sin t-\sin2t\bigr),&0\le t<2\pi,\\\\ 0,&t\ge2\pi. \end{cases}
Em termos de degrau unitário isso é
y(t)=\tfrac16\bigl(1-u_{2\pi}(t)\bigr)\bigl(2\sin t-\sin2t\bigr).

Resposta

c. \displaystyle \frac{1}{6}\bigl(1-u_{2\pi}(t)\bigr)(2\sin t-\sin2t)

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