Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo volume mede
.
Passo 1
O enunciado dá o volume da esfera e pede o volume de um cubo inscrito nela.
Informações fornecidas:
- Volume da esfera:
.
(Aqui estou interpretandocomo , que é o valor que gera números inteiros agradáveis neste problema.)
O que é pedido:
- Determinar o volume do cubo inscrito nessa esfera (ou seja, o cubo cujos oito vértices pertencem à superfície da esfera).
Passo 2
Usar a fórmula do volume da esfera para encontrar o raio
.
A fórmula do volume de uma esfera é
onde
é o raio da esfera (explicando:
é a constante geométrica, e o fator
vem da integração da área de círculos infinitesimais ao longo do raio).
Substituindo o valor dado:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Agora isolamos
: multiplicamos ambos os lados por
:
Calculemos
. Primeiro
. Em seguida
. Logo
Tirando a raiz cúbica, observamos que
, portanto
Passo 3
Relacionar o raio da esfera com a aresta
do cubo inscrito.
Num cubo de aresta
, a diagonal espacial (a que liga dois vértices opostos) tem comprimento
Explicação breve: a diagonal da face tem comprimento
(teorema de Pitágoras numa face), e aplicando Pitágoras novamente entre essa diagonal de face e a aresta perpendicular obtém-se
.
Num cubo inscrito na esfera, essa diagonal espacial coincide com o diâmetro da esfera, isto é:
Já sabemos
, então
Isolando
:
Racionalizando/simplificando:
Passo 4
Calcular o volume do cubo a partir de
.
A fórmula do volume do cubo é
onde
é a aresta do cubo.
Substituindo
:
Calcule passo a passo:
Portanto
Portanto
Se quiser uma aproximação numérica rápida, usando
, tem-se
mas a forma exata é preferível em provas.
Passo 5
Recapitulando com calma: pegamos o volume da esfera para achar
via
, usamos que a diagonal do cubo inscrito vale o diâmetro da esfera para achar
, e por fim calculamos
. Está tudo em ordem — respira, dá pra fazer em prova rápido quando souber os passos.