Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo volume mede 2,304 \pi \mathrm{~cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o volume da esfera e pede o volume de um cubo inscrito nela.
Informações fornecidas:
  • Volume da esfera: V_{\text{esfera}} = 2304\pi\\ \text{cm}^3.
    (Aqui estou interpretando 2,304\pi\\ \text{cm}^3 como 2304\pi\\ \text{cm}^3, que é o valor que gera números inteiros agradáveis neste problema.)
O que é pedido:
  • Determinar o volume do cubo inscrito nessa esfera (ou seja, o cubo cujos oito vértices pertencem à superfície da esfera).

Passo 2

Usar a fórmula do volume da esfera para encontrar o raio r.
A fórmula do volume de uma esfera é
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^{3},
onde r é o raio da esfera (explicando: \pi é a constante geométrica, e o fator \tfrac{4}{3} vem da integração da área de círculos infinitesimais ao longo do raio).
Substituindo o valor dado:
2304\pi = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por \pi:
2304 = \frac{4}{3} r^{3}.
Agora isolamos r^{3}: multiplicamos ambos os lados por \tfrac{3}{4}:
r^{3} = 2304\cdot\frac{3}{4}.
Calculemos 2304\cdot\frac{3}{4}. Primeiro 2304\cdot 3 = 6912. Em seguida 6912\div 4 = 1728. Logo
r^{3} = 1728.
Tirando a raiz cúbica, observamos que 12^{3}=1728, portanto
r = 12\\ \text{cm}.

Passo 3

Relacionar o raio da esfera com a aresta a do cubo inscrito.
Num cubo de aresta a, a diagonal espacial (a que liga dois vértices opostos) tem comprimento
\text{diagonal} = a\sqrt{3}.
Explicação breve: a diagonal da face tem comprimento a\sqrt{2} (teorema de Pitágoras numa face), e aplicando Pitágoras novamente entre essa diagonal de face e a aresta perpendicular obtém-se \sqrt{(a\sqrt{2})^{2}+a^{2}}=\sqrt{3a^{2}}=a\sqrt{3}.
Num cubo inscrito na esfera, essa diagonal espacial coincide com o diâmetro da esfera, isto é:
a\sqrt{3} = 2r.
Já sabemos r=12\\ \text{cm}, então
a\sqrt{3} = 24.
Isolando a:
a = \frac{24}{\sqrt{3}}.
Racionalizando/simplificando:
a = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}\\ \text{cm}.

Passo 4

Calcular o volume do cubo a partir de a.
A fórmula do volume do cubo é
V_{\text{cubo}} = a^{3},
onde a é a aresta do cubo.
Substituindo a=8\sqrt{3}:
V_{\text{cubo}} = (8\sqrt{3})^{3}.
Calcule passo a passo: (8\sqrt{3})^{3} = 8^{3}\cdot(\sqrt{3})^{3} = 512\cdot 3\sqrt{3} = 1536\sqrt{3}.
Portanto
V_{\text{cubo}} = 1536\sqrt{3}\\ \text{cm}^3.
Se quiser uma aproximação numérica rápida, usando \sqrt{3}\approx 1{,}732, tem-se
V_{\text{cubo}}\approx 1536\cdot 1{,}732 \approx 2660{,}352\\ \text{cm}^3,
mas a forma exata é preferível em provas.

Passo 5

Recapitulando com calma: pegamos o volume da esfera para achar r via V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}, usamos que a diagonal do cubo inscrito vale o diâmetro da esfera para achar a, e por fim calculamos a^{3}. Está tudo em ordem — respira, dá pra fazer em prova rápido quando souber os passos.

Resposta

1536\sqrt{3}\\ \text{cm}^3

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