Determine a razão entre a área da esfera e a do cubo inscrito nessa esfera.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a razão entre a área da esfera e a área do cubo inscrito nessa esfera.
Informações que temos (definições e notação que vou usar):
- Há uma esfera de raio
(valor arbitrário). - Há um cubo inscrito nessa esfera; chamo o lado do cubo de
. - “Cubo inscrito” significa que todos os vértices do cubo pertencem à superfície da esfera, logo a distância do centro da esfera a qualquer vértice do cubo é exatamente
. - O objetivo é calcular a razão
.
Passo 2
Relação geométrica entre
e
: distância do centro do cubo a um vértice.
Explicação geométrica e cálculo passo a passo:
- Num cubo de lado
, a diagonal de uma face (por exemplo, diagonal do quadrado) vale . Isto vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado por dois lados adjacentes da face. - A diagonal espacial do cubo (a que liga dois vértices opostos) pode ser obtida aplicando Pitágoras novamente usando a face diagonal e o terceiro lado:
. - O centro do cubo fica no ponto médio dessa diagonal espacial, então a distância do centro a um vértice é metade da diagonal espacial:
- Isolando
em função de :
Passo 3
Fórmulas das áreas (explicando o que cada símbolo significa):
- Área da superfície da esfera:
, onde é o raio da esfera e é a constante (aprox. ). - Breve intuição: essa é a fórmula clássica da área de uma esfera homogênea; aparece em praticamente todos os cursos de cálculo/geometria.
- Área da superfície do cubo:
, porque o cubo tem 6 faces quadradas e cada face tem área .
Passo 4
Escrever a área do cubo em função de
usando
.
Calculo de
:
Agora a área do cubo:
Passo 5
Calcular a razão pedida substituindo as expressões em função de
.
Começo com as fórmulas:
Agora a razão:
Cancelar
(observação: isso mostra que a razão independe do tamanho da esfera):
Passo 6
Checagem rápida (sanity check numérico) — opcional para confiança:
- Se escolher
, então e . A razão , que é exatamente numericamente. Combina com o resultado analítico.
Passo 7
Interpretação final e motivação prática:
- A razão
é um número puro (~1,5708) e não depende do tamanho da esfera nem do cubo, apenas da configuração geométrica (cubo inscrito na esfera). - Resultado simples: a esfera tem área superficial
vezes maior do que a área do cubo inscrito.