Determine a razão entre a área da esfera e a do cubo inscrito nessa esfera.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a razão entre a área da esfera e a área do cubo inscrito nessa esfera.
Informações que temos (definições e notação que vou usar):
  • Há uma esfera de raio r (valor arbitrário).
  • Há um cubo inscrito nessa esfera; chamo o lado do cubo de a.
  • “Cubo inscrito” significa que todos os vértices do cubo pertencem à superfície da esfera, logo a distância do centro da esfera a qualquer vértice do cubo é exatamente r.
  • O objetivo é calcular a razão \dfrac{A_{\text{esfera}}}{A_{\text{cubo}}}.

Passo 2

Relação geométrica entre a e r: distância do centro do cubo a um vértice.
Explicação geométrica e cálculo passo a passo:
  • Num cubo de lado a, a diagonal de uma face (por exemplo, diagonal do quadrado) vale \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}. Isto vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado por dois lados adjacentes da face.
  • A diagonal espacial do cubo (a que liga dois vértices opostos) pode ser obtida aplicando Pitágoras novamente usando a face diagonal e o terceiro lado: \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3}.
  • O centro do cubo fica no ponto médio dessa diagonal espacial, então a distância do centro a um vértice é metade da diagonal espacial: r = \frac{a\sqrt{3}}{2}.
  • Isolando a em função de r: a = \frac{2r}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Fórmulas das áreas (explicando o que cada símbolo significa):
  • Área da superfície da esfera: A_{\text{esfera}} = 4\pi r^2, onde r é o raio da esfera e \pi é a constante (aprox. 3{,}14159).
    • Breve intuição: essa é a fórmula clássica da área de uma esfera homogênea; aparece em praticamente todos os cursos de cálculo/geometria.
  • Área da superfície do cubo: A_{\text{cubo}} = 6a^2, porque o cubo tem 6 faces quadradas e cada face tem área a^2.

Passo 4

Escrever a área do cubo em função de r usando a = \dfrac{2r}{\sqrt{3}}.
Calculo de a^2:
a^2 = \left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4r^2}{3}.
Agora a área do cubo:
A_{\text{cubo}} = 6a^2 = 6\cdot\frac{4r^2}{3} = \frac{24r^2}{3} = 8r^2.

Passo 5

Calcular a razão pedida substituindo as expressões em função de r.
Começo com as fórmulas:
A_{\text{esfera}} = 4\pi r^2, \qquad A_{\text{cubo}} = 8r^2.
Agora a razão:
\frac{A_{\text{esfera}}}{A_{\text{cubo}}} = \frac{4\pi r^2}{8r^2}.
Cancelar r^2 (observação: isso mostra que a razão independe do tamanho da esfera):
\frac{4\pi r^2}{8r^2} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}.

Passo 6

Checagem rápida (sanity check numérico) — opcional para confiança:
  • Se escolher r=1, então A_{\text{esfera}}=4\pi\approx12{,}566 e A_{\text{cubo}}=8. A razão 12{,}566/8\approx1{,}5708, que é exatamente \pi/2 numericamente. Combina com o resultado analítico.

Passo 7

Interpretação final e motivação prática:
  • A razão \dfrac{\pi}{2} é um número puro (~1,5708) e não depende do tamanho da esfera nem do cubo, apenas da configuração geométrica (cubo inscrito na esfera).
  • Resultado simples: a esfera tem área superficial \pi/2 vezes maior do que a área do cubo inscrito.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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