Verificar o teorema de Stokes para
\vec{A}=(y-z+2) \hat{i}+(y z+4) \hat{j}-x z \hat{k}, onde S é a superficie do cubo
x=0, y=0, x=2, y=2, z=2 acima do plano xy .

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \vec{A}=(y-z+2)\,\hat{i}+(y z+4)\,\hat{j}-x z\,\hat{k} e a superfície S que é a face superior do cubo limitada por x=0, x=2, y=0, y=2 e situada em z=2 (ou seja, o quadrado \{(x,y,2)\mid 0\le x\le2,\\\ 0\le y\le2\}).\n\nO que o problema pede: verificar o teorema de Stokes para essa superfície. Ou seja, calcular os dois lados da igualdade de Stokes e mostrar que coincidem:
\iint_{S} (\nabla\times\vec{A})\cdot\vec{n}\,dS \qquad\text{e}\qquad \oint_{\partial S}\vec{A}\cdot d\vec{r}.
Informações relevantes dadas:
  • Campo \vec{A} explicitamente: \vec{A}=(y-z+2)\,\hat{i}+(y z+4)\,\hat{j}-x z\,\hat{k}.
  • Superfície S é o quadrado em z=2 com 0\le x\le2, 0\le y\le2.
  • Vou escolher a normal unitária \vec{n}=\hat{k} (apontando para cima), então a orientação da curva \partial S será no sentido anti-horário quando vista de cima (regra da mão direita).

Passo 2

Lembrete do teorema de Stokes e do que vamos calcular (pequena aula):
  • O teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada S com fronteira \partial S,
\iint_{S} (\nabla\times\vec{A})\cdot\vec{n}\,dS = \oint_{\partial S}\vec{A}\cdot d\vec{r}.
  • Aqui \nabla\times\vec{A} é o rotacional (curl) de \vec{A}. Em coordenadas cartesianas, se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) então
\nabla\times\vec{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}, \; \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}, \; \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} \right).
  • No lado esquerdo temos uma integral dupla sobre a superfície: calculamos (\nabla\times\vec{A})\cdot\vec{n} e integramos sobre a área do quadrado. Como \vec{n}=\hat{k}, só importa a componente z do rotacional.
  • No lado direito, \partial S é a curva fechada que percorre o contorno do quadrado em z=2. Vamos parametrizar as quatro arestas e somar as integrais de linha \int \vec{A}\cdot d\vec{r} em cada uma, respeitando a orientação anti-horária vista de cima: vértices (0,0,2)\to(2,0,2)\to(2,2,2)\to(0,2,2)\to(0,0,2).

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{A} passo a passo.\n
Escrevendo componentes:
A_x = y-z+2,\quad A_y = yz+4,\quad A_z = -xz.
Aplicando a fórmula:
  • Primeira componente:
(\nabla\times\vec{A})_x = \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} = \frac{\partial (-xz)}{\partial y}-\frac{\partial (yz+4)}{\partial z} = 0 - y = -y.
(Observe: \partial(-xz)/\partial y=0 porque não depende de y; \partial(yz+4)/\partial z = y.)
  • Segunda componente:
(\nabla\times\vec{A})_y = \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} = \frac{\partial (y-z+2)}{\partial z}-\frac{\partial (-xz)}{\partial x} = (-1) - (-z) = z-1.
(Detalhe: \partial(y-z+2)/\partial z=-1; \partial(-xz)/\partial x=-z.)
  • Terceira componente:
(\nabla\times\vec{A})_z = \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} = \frac{\partial (yz+4)}{\partial x}-\frac{\partial (y-z+2)}{\partial y} = 0 - 1 = -1.
(Porque \partial(yz+4)/\partial x=0 e \partial(y-z+2)/\partial y=1.)
Portanto:
\nabla\times\vec{A}=(-y,\; z-1,\; -1).

Passo 4

Calcular a integral de superfície \iint_{S} (\nabla\times\vec{A})\cdot\vec{n}\,dS.\n
  • Como a superfície S está em z=2 e escolhemos \vec{n}=\hat{k}, temos
(\nabla\times\vec{A})\cdot\vec{n} = (\nabla\times\vec{A})_z = -1,
avaliado em z=2 (mas aqui é constante e independe de x,y).\n
  • Então a integral sobre S é simplesmente -1 vezes a área do quadrado de lado 2:
\iint_{S} (\nabla\times\vec{A})\cdot\vec{n}\,dS = (-1)\cdot (\text{área de }S) = -1 \cdot (2\cdot 2) = -4.á

Passo 5

Agora calcular a integral de linha ao longo da fronteira \partial S:
\displaystyle \oint_{\partial S}\vec{A}\cdot d\vec{r}, percorrendo anti-horário visto de cima. Vou dividir em 4 arestas e parametrizar cada uma.
Aresta 1: de (0,0,2) até (2,0,2) (varia x:0\to2, y=0, z=2).\n
  • Parametrização: \vec{r}_1(x)=(x,0,2), d\vec{r}_1=(dx,0,0), 0\le x\le2.
  • Em y=0,z=2, o campo é
\vec{A}=(y-z+2,\, yz+4,\, -xz)=(0-2+2,\,0+4,\, -2x)=(0,4,-2x).
  • Produto escalar: \vec{A}\cdot d\vec{r}_1 = 0\cdot dx + 4\cdot 0 + (-2x)\cdot 0 = 0.
  • Integral na aresta 1: \displaystyle \int_{0}^{2} 0\,dx = 0.
Aresta 2: de (2,0,2) até (2,2,2) (varia y:0\to2, x=2, z=2).\n
  • Parametrização: \vec{r}_2(y)=(2,y,2), d\vec{r}_2=(0,dy,0), 0\le y\le2.
  • Em x=2,z=2, o campo é
\vec{A}=(y-2+2,\; y\cdot2+4,\; -2\cdot2)=(y,\; 2y+4,\; -4).
  • Produto escalar: \vec{A}\cdot d\vec{r}_2 = (y)\cdot 0 + (2y+4)\cdot dy + (-4)\cdot 0 = (2y+4)\,dy.
  • Integral na aresta 2: \displaystyle \int_{0}^{2} (2y+4)\,dy = \left[y^2+4y\right]_0^2 = 4+8 = 12.
Aresta 3: de (2,2,2) até (0,2,2) (varia x:2\to0, y=2, z=2).\n
  • Parametrização: \vec{r}_3(x)=(x,2,2), d\vec{r}_3=(dx,0,0), com x de 2 a 0.
  • Em y=2,z=2, o campo é
\vec{A}=(2-2+2,\; 2\cdot2+4,\; -2x)=(2,\;8,\;-2x).
  • Produto escalar: \vec{A}\cdot d\vec{r}_3 = 2\,dx.
  • Integral na aresta 3: \displaystyle \int_{x=2}^{0} 2\,dx = 2\,(0-2) = -4.
Aresta 4: de (0,2,2) até (0,0,2) (varia y:2\to0, x=0, z=2).\n
  • Parametrização: \vec{r}_4(y)=(0,y,2), d\vec{r}_4=(0,dy,0), com y de 2 a 0.
  • Em x=0,z=2, o campo é
\vec{A}=(y-2+2,\; 2y+4,\; 0)=(y,\;2y+4,\;0).
  • Produto escalar: \vec{A}\cdot d\vec{r}_4 = (2y+4)\,dy.
  • Integral na aresta 4: \displaystyle \int_{y=2}^{0} (2y+4)\,dy = -\int_{0}^{2} (2y+4)\,dy = -12.

Passo 6

Somando as contribuições das quatro arestas:
0 + 12 + (-4) + (-12) = -4.
Portanto a integral de linha \displaystyle \oint_{\partial S}\vec{A}\cdot d\vec{r} = -4, que coincide com a integral de superfície calculada anteriormente.

Resposta

\displaystyle \iint_{S} (\nabla\times\vec{A})\cdot\vec{n}\,dS = -4
\displaystyle \oint_{\partial S}\vec{A}\cdot d\vec{r} = -4

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