Verificar o teorema de Stokes para
, onde S é a superficie do cubo
acima do plano xy .
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e a superfície
que é a face superior do cubo limitada por
,
,
,
e situada em
(ou seja, o quadrado
).\n\nO que o problema pede: verificar o teorema de Stokes para essa superfície. Ou seja, calcular os dois lados da igualdade de Stokes e mostrar que coincidem:
Informações relevantes dadas:
- Campo
explicitamente: . - Superfície
é o quadrado em com , . - Vou escolher a normal unitária
(apontando para cima), então a orientação da curva será no sentido anti-horário quando vista de cima (regra da mão direita).
Passo 2
Lembrete do teorema de Stokes e do que vamos calcular (pequena aula):
- O teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada
com fronteira ,
- Aqui
é o rotacional (curl) de . Em coordenadas cartesianas, se então
- No lado esquerdo temos uma integral dupla sobre a superfície: calculamos
e integramos sobre a área do quadrado. Como , só importa a componente do rotacional. - No lado direito,
é a curva fechada que percorre o contorno do quadrado em . Vamos parametrizar as quatro arestas e somar as integrais de linha em cada uma, respeitando a orientação anti-horária vista de cima: vértices .
Passo 3
Calcular o rotacional
passo a passo.\n
Escrevendo componentes:
Escrevendo componentes:
Aplicando a fórmula:
- Primeira componente:
(Observe:
porque não depende de
;
.)
- Segunda componente:
(Detalhe:
;
.)
- Terceira componente:
(Porque
e
.)
Portanto:
Passo 4
Calcular a integral de superfície
.\n
- Como a superfície
está em e escolhemos , temos
avaliado em
(mas aqui é constante e independe de
).\n
- Então a integral sobre
é simplesmente vezes a área do quadrado de lado :
Passo 5
Agora calcular a integral de linha ao longo da fronteira
:
, percorrendo anti-horário visto de cima. Vou dividir em 4 arestas e parametrizar cada uma.
Aresta 1: de
até
(varia
,
,
).\n
- Parametrização:
, , . - Em
, o campo é
- Produto escalar:
- Integral na aresta 1:
Aresta 2: de
até
(varia
,
,
).\n
- Parametrização:
, , . - Em
, o campo é
- Produto escalar:
- Integral na aresta 2:
Aresta 3: de
até
(varia
,
,
).\n
- Parametrização:
, , com de a . - Em
, o campo é
- Produto escalar:
- Integral na aresta 3:
Aresta 4: de
até
(varia
,
,
).\n
- Parametrização:
, , com de a . - Em
, o campo é
- Produto escalar:
- Integral na aresta 4:
Passo 6
Somando as contribuições das quatro arestas:
Portanto a integral de linha
, que coincide com a integral de superfície calculada anteriormente.