Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem área de 324 \pi \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a área da superfície de uma esfera como 324\pi\\ \mathrm{cm}^2 e pede o volume dessa esfera. Para resolver, vamos usar dois resultados clássicos de geometria de esferas:
  1. A área da superfície de uma esfera de raio R é
S = 4\pi R^2.
  1. O volume de uma esfera de raio R é
V = \frac{4}{3}\pi R^3.
Primeiro vamos isolar R a partir da área e depois calcular o volume.

Passo 2

Igualando a área dada à fórmula, temos
324\pi = 4\pi R^2.
Dividindo ambos os lados por 4\pi, fica
R^2 = \frac{324\pi}{4\pi} = 81.
Logo,
R = \sqrt{81} = 9\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Com R=9\\ \mathrm{cm}, usamos a fórmula do volume:
V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 9^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729.
Fazendo a multiplicação,
V = 972\pi\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

O volume da esfera é 972\pi\\ \mathrm{cm}^3.

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