Um plano secciona uma esfera, determinando um círculo de 16 \pi \mathrm{~cm}^{2} de área. Determine o raio da esfera, sabendo que o plano dista 3 cm do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera cujo centro está a uma distância de 3 cm de um plano que a corta, produzindo um círculo de área 16\pi cm ^2. O objetivo é achar o raio R da esfera. Vamos usar a geometria do corte: o raio do círculo é \sqrt{R^2 - d^2}, onde d=3 cm.

Passo 2

Calcular o raio r do círculo a partir da área:
\pi r^2 = 16\pi
Logo,
r^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad r = 4\text{ cm}.

Passo 3

Aplicar a relação do triângulo retângulo formado pelo raio da esfera R, pela distância d=3 cm e pelo raio do círculo r=4 cm:
r^2 + d^2 = R^2 \quad\Longrightarrow\quad 4^2 + 3^2 = R^2 \quad\Longrightarrow\quad 16 + 9 = R^2 \quad\Longrightarrow\quad R^2 = 25.
Portanto,
R = 5\text{ cm}.

Resposta

O raio da esfera é 5 cm.

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