Determine a área total de um cilindro equilátero circunscrito a uma esfera de superficie
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície de uma esfera e pede a área total de um cilindro equilátero que está circunscrito a essa esfera.
Informações fornecidas:
- A superfície da esfera vale
.
O que é pedido:
- Determinar a área total do cilindro equilátero circunscrito à esfera (ou seja, a área lateral mais as áreas das duas bases do cilindro).
Passo 2
Primeiro, vamos extrair o raio da esfera a partir da área da sua superfície.
Fórmula da área da superfície de uma esfera:
onde
é o raio da esfera (explicando: a expressão vem do fato geométrico conhecido para esferas;
é a constante que multiplica o quadrado do raio para obter a área total da casca esférica).
Igualando à área dada:
Dividindo ambos os lados por
e por
:
Portanto
(Escrevi passo a passo: isolei
e tirei a raiz quadrada.)
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa “cilindro equilátero circunscrito à esfera” e quais relações ele impõe entre as dimensões do cilindro e o raio da esfera.
-
Um cilindro circunscrito à esfera, com os eixos alinhados (caso padrão), é aquele cujo eixo passa pelo centro da esfera, a esfera toca as duas bases do cilindro (topo e fundo) e também toca a superfície lateral do cilindro. Nessa posição de tangência:
- o raio da base do cilindro, que chamarei de
, é igual ao raio da esfera: . Explicação: a esfera é tangente lateralmente quando a distância do eixo até o ponto de tangência é exatamente o raio da esfera, que define o raio da base do cilindro. - a altura do cilindro, que chamarei de
, é igual ao diâmetro da esfera: . Explicação: a esfera toca as duas bases, então a distância entre as bases (a altura) é o diâmetro da esfera.
- o raio da base do cilindro, que chamarei de
-
Além disso, um “cilindro equilátero” é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é
. Observe que, com as igualdades acima ( e ), o cilindro circunscrito naturalmente satisfaz , portanto é realmente equilátero. Isso confirma a consistência do enunciado.
Passo 4
Usando o valor do raio da esfera encontrado no Passo 2 (
), obtemos as dimensões do cilindro:
- Raio da base do cilindro:
- Altura do cilindro:
Passo 5
Fórmulas para a área de um cilindro:
- Área lateral do cilindro:
onde
é o raio da base e
é a altura. (Intuição: a área lateral é a circunferência da base,
, multiplicada pela altura.)
- Área das duas bases:
pois cada base é um círculo de área
e há duas bases.
- Área total do cilindro:
Também se pode fatorar:
.
Passo 6
Substituímos os valores numéricos
e
nas expressões:
- Área lateral:
- Área das duas bases:
A área total é a soma da área lateral com a área das bases.
Passo 7
Resumo final dos cálculos (sem repetir a resposta final nesta seção): os componentes da área do cilindro encontrados são
e
; a área total é a soma dessas duas parcelas.