Determine a área total de um cilindro equilátero circunscrito a uma esfera de superficie 400 \pi \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a superfície de uma esfera e pede a área total de um cilindro equilátero que está circunscrito a essa esfera.
Informações fornecidas:
  • A superfície da esfera vale \,400\pi\\ \mathrm{m}^2.
O que é pedido:
  • Determinar a área total do cilindro equilátero circunscrito à esfera (ou seja, a área lateral mais as áreas das duas bases do cilindro).

Passo 2

Primeiro, vamos extrair o raio da esfera a partir da área da sua superfície.
Fórmula da área da superfície de uma esfera: 4\pi R^2,
onde \,R é o raio da esfera (explicando: a expressão vem do fato geométrico conhecido para esferas; 4\pi é a constante que multiplica o quadrado do raio para obter a área total da casca esférica).
Igualando à área dada:
4\pi R^2 = 400\pi.
Dividindo ambos os lados por \pi e por 4:
R^2 = \frac{400\pi}{4\pi} = 100.
Portanto
R = 10\\ \mathrm{m}.
(Escrevi passo a passo: isolei R^2 e tirei a raiz quadrada.)

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa “cilindro equilátero circunscrito à esfera” e quais relações ele impõe entre as dimensões do cilindro e o raio da esfera.
  • Um cilindro circunscrito à esfera, com os eixos alinhados (caso padrão), é aquele cujo eixo passa pelo centro da esfera, a esfera toca as duas bases do cilindro (topo e fundo) e também toca a superfície lateral do cilindro. Nessa posição de tangência:
    • o raio da base do cilindro, que chamarei de \,r, é igual ao raio da esfera: \,r = R. Explicação: a esfera é tangente lateralmente quando a distância do eixo até o ponto de tangência é exatamente o raio da esfera, que define o raio da base do cilindro.
    • a altura do cilindro, que chamarei de \,h, é igual ao diâmetro da esfera: \,h = 2R. Explicação: a esfera toca as duas bases, então a distância entre as bases (a altura) é o diâmetro da esfera.
  • Além disso, um “cilindro equilátero” é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é \,h = 2r. Observe que, com as igualdades acima ( r=R e h=2R), o cilindro circunscrito naturalmente satisfaz \,h=2r, portanto é realmente equilátero. Isso confirma a consistência do enunciado.

Passo 4

Usando o valor do raio da esfera encontrado no Passo 2 ( R=10\\ \mathrm{m}), obtemos as dimensões do cilindro:
  • Raio da base do cilindro:
r = R = 10\\ \mathrm{m}.
  • Altura do cilindro:
h = 2R = 2\cdot 10 = 20\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Fórmulas para a área de um cilindro:
  • Área lateral do cilindro: A_{\text{lat}} = 2\pi r h,
onde \,r é o raio da base e \,h é a altura. (Intuição: a área lateral é a circunferência da base, 2\pi r, multiplicada pela altura.)
  • Área das duas bases: A_{\text{bases}} = 2\pi r^2,
pois cada base é um círculo de área \pi r^2 e há duas bases.
  • Área total do cilindro: A_{\text{total}} = A_{\text{lat}} + A_{\text{bases}} = 2\pi r h + 2\pi r^2.
Também se pode fatorar: \,A_{\text{total}} = 2\pi r (h + r).

Passo 6

Substituímos os valores numéricos \,r=10\\ \mathrm{m} e \,h=20\\ \mathrm{m} nas expressões:
  • Área lateral:
A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 10 \cdot 20 = 400\pi\\ \mathrm{m}^2.
  • Área das duas bases:
A_{\text{bases}} = 2\pi r^2 = 2\pi \cdot 10^2 = 200\pi\\ \mathrm{m}^2.
A área total é a soma da área lateral com a área das bases.

Passo 7

Resumo final dos cálculos (sem repetir a resposta final nesta seção): os componentes da área do cilindro encontrados são \,A_{\text{lat}}=400\pi\\ \mathrm{m}^2 e \,A_{\text{bases}}=200\pi\\ \mathrm{m}^2; a área total é a soma dessas duas parcelas.

Resposta

600\pi\\ \mathrm{m}^2

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