Determine o volume de uma esfera de raio R usando: a) integração dupla; b) integração tripla e coordenadas cilíncricas; c) integração tripla e coordenadas esféricas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: determinar o volume de uma esfera de raio R usando três abordagens diferentes:
  • (a) integração dupla (usar uma integral dupla sobre uma região plana);
  • (b) integração tripla em coordenadas cilíndricas;
  • (c) integração tripla em coordenadas esféricas.
Informações dadas:
  • A esfera é o conjunto de pontos em \mathbb{R}^3 que satisfazem \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2}\;.
  • Queremos o volume do sólido, isto é, a medida tridimensional da região interior da esfera.
O que faremos em cada método (resumido, sem resolver ainda):
  • (a) usar a fórmula do volume como uma integral dupla sobre a projeção no plano xy: V=\iint_{D}(\text{altura})\,dA, com a altura dada pela diferença entre as faces superior e inferior z=\pm\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}.
  • (b) escrever o volume como \iiint_{E} dV em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e integrar nas três variáveis com os limites apropriados.
  • (c) escrever o volume como \iiint_{E} dV em coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta) usando o elemento de volume \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Conceito-chave (fórmula usada em todos os métodos): volume como integral.
  • Se E é a região sólida, então o volume é
V=\iiint_{E} dV.
  • Alternativamente, se projetarmos E no plano xy obtendo a região D, podemos escrever
V=\iint_{D}\big(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\big)\,dA.
Aqui z_{\text{top}}(x,y)=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} e z_{\text{bot}}(x,y)=-\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} para a esfera. Vou aplicar esses princípios passo a passo nos três métodos.
(a) Integração dupla (usando coordenadas polares na projeção)

Passo 3

Montar a integral dupla sobre a projeção D.
  • A projeção da esfera no plano xy é o disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le R^{2}\}.
  • A altura em cada ponto (x,y)\in D é
z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}-(-\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}})=2\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}.
  • Então
V=\iint_{D} 2\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}\,dA.

Passo 4

Trocar para coordenadas polares (r,\theta) para facilitar o cálculo.
  • Em polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, com r\ge0, \theta\in[0,2\pi).
  • O elemento de área vale dA=r\,dr\,d\theta.
  • A condição x^{2}+y^{2}\le R^{2} vira 0\le r\le R.
  • Substituindo:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} 2\sqrt{R^{2}-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral dupla (fazer a integral em r primeiro).
  • Separe o fator angular:
V=2\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{R} r\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,dr\right)=4\pi\int_{0}^{R} r\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,dr.
  • Para calcular I=\int_{0}^{R} r\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,dr, faça a substituição u=R^{2}-r^{2}. Então du=-2r\,dr e r\,dr=-\tfrac{1}{2}du.
  • Quando r=0 temos u=R^{2}; quando r=R temos u=0.
  • Assim
I=\int_{u=R^{2}}^{0} \sqrt{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right)=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{R^{2}} u^{1/2}\,du.
  • Integre: \int u^{1/2}\,du=\tfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
I=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}\big[u^{3/2}\big]_{0}^{R^{2}}=\tfrac{1}{3}\big(R^{2}\big)^{3/2}=\tfrac{1}{3}R^{3}.

Passo 6

Concluir o método (a).
  • Voltando para V:
V=4\pi\cdot I=4\pi\cdot\frac{1}{3}R^{3}=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Ou seja, por integração dupla (projeção no plano xy e polares) obtemos V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}.
(b) Integração tripla em coordenadas cilíndricas

Passo 7

Definir coordenadas cilíndricas e as equações da região.
  • Em coordenadas cilíndricas usamos (r,\theta,z) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, e z=z.
  • O elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
  • A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2} em cilíndricas fica r^{2}+z^{2}\le R^{2}.
  • Para um r fixo, z varia entre -\sqrt{R^{2}-r^{2}} e +\sqrt{R^{2}-r^{2}}. O r varia de 0 a R e \theta de 0 a 2\pi.

Passo 8

Montar e calcular a integral tripla.
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{-\sqrt{R^{2}-r^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Integrando em z primeiro:
\int_{-\sqrt{R^{2}-r^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-r^{2}}} r\,dz = r\cdot\big(2\sqrt{R^{2}-r^{2}}\big)=2r\sqrt{R^{2}-r^{2}}.
  • Logo
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} 2r\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,dr\,d\theta = 2\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{R} r\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,dr\right).
  • Reconhecemos a mesma integral em r do método (a). Já calculamos \int_{0}^{R} r\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,dr=\tfrac{1}{3}R^{3}.
  • Então
V=2\cdot 2\pi\cdot \frac{1}{3}R^{3}= \frac{4}{3}\pi R^{3}.
(c) Integração tripla em coordenadas esféricas

Passo 9

Definir coordenadas esféricas e o elemento de volume.
  • Em coordenadas esféricas normais usamos (\rho,\varphi,\theta) com:
    • \rho = distância do ponto à origem (ou seja, 0\le\rho\le R dentro da esfera),
    • \varphi = ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (ou seja, 0\le\varphi\le\pi),
    • \theta = ângulo azimutal no plano xy (ou seja, 0\le\theta\le2\pi).
  • O elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Para a esfera inteira os limites são \rho\in[0,R], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi].

Passo 10

Montar e calcular a integral tripla em esféricas.
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • A integral separa em produto de três integrais:
V=\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{R} \rho^{2}\,d\rho\right).
  • Calcule cada uma:
    • \displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
    • \displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi = \big[-\cos\varphi\big]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos0)=(-(-1))-(-1)=2.
    • \displaystyle \int_{0}^{R} \rho^{2}\,d\rho = \big[\tfrac{1}{3}\rho^{3}\big]_{0}^{R} = \tfrac{1}{3}R^{3}.
  • Multiplicando:
V=2\pi\cdot 2\cdot \frac{1}{3}R^{3} = \frac{4}{3}\pi R^{3}.

Resposta

(a) \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^{3}\n
(b) \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^{3}\n
(c) \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^{3}

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