Determine o volume de uma esfera de raio
usando: a) integração dupla; b) integração tripla e coordenadas cilíncricas; c) integração tripla e coordenadas esféricas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: determinar o volume de uma esfera de raio
usando três abordagens diferentes:
- (a) integração dupla (usar uma integral dupla sobre uma região plana);
- (b) integração tripla em coordenadas cilíndricas;
- (c) integração tripla em coordenadas esféricas.
Informações dadas:
- A esfera é o conjunto de pontos em
que satisfazem . - Queremos o volume do sólido, isto é, a medida tridimensional da região interior da esfera.
O que faremos em cada método (resumido, sem resolver ainda):
- (a) usar a fórmula do volume como uma integral dupla sobre a projeção no plano
: , com a altura dada pela diferença entre as faces superior e inferior . - (b) escrever o volume como
em coordenadas cilíndricas e integrar nas três variáveis com os limites apropriados. - (c) escrever o volume como
em coordenadas esféricas usando o elemento de volume .
Passo 2
Conceito-chave (fórmula usada em todos os métodos): volume como integral.
- Se
é a região sólida, então o volume é
- Alternativamente, se projetarmos
no plano obtendo a região , podemos escrever
Aqui
e
para a esfera. Vou aplicar esses princípios passo a passo nos três métodos.
(a) Integração dupla (usando coordenadas polares na projeção)
Passo 3
Montar a integral dupla sobre a projeção
.
- A projeção da esfera no plano
é o disco . - A altura em cada ponto
é
- Então
Passo 4
Trocar para coordenadas polares
para facilitar o cálculo.
- Em polares:
, , com , . - O elemento de área vale
. - A condição
vira . - Substituindo:
Passo 5
Calcular a integral dupla (fazer a integral em
primeiro).
- Separe o fator angular:
- Para calcular
, faça a substituição . Então e . - Quando
temos ; quando temos . - Assim
- Integre:
. Portanto
Passo 6
Concluir o método (a).
- Voltando para
:
Ou seja, por integração dupla (projeção no plano
e polares) obtemos
.
(b) Integração tripla em coordenadas cilíndricas
Passo 7
Definir coordenadas cilíndricas e as equações da região.
- Em coordenadas cilíndricas usamos
com , , e . - O elemento de volume é
. - A esfera
em cilíndricas fica . - Para um
fixo, varia entre e . O varia de a e de a .
Passo 8
Montar e calcular a integral tripla.
- Integrando em
primeiro:
- Logo
- Reconhecemos a mesma integral em
do método (a). Já calculamos . - Então
(c) Integração tripla em coordenadas esféricas
Passo 9
Definir coordenadas esféricas e o elemento de volume.
- Em coordenadas esféricas normais usamos
com: -
= distância do ponto à origem (ou seja, dentro da esfera), -
= ângulo polar medido a partir do eixo positivo (ou seja, ), -
= ângulo azimutal no plano (ou seja, ).
-
- O elemento de volume é
. - Para a esfera inteira os limites são
, , .
Passo 10
Montar e calcular a integral tripla em esféricas.
- A integral separa em produto de três integrais:
- Calcule cada uma:
-
. -
-
-
- Multiplicando:
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)