As superfícies dadas abaixo estão representadas por suas equações cartesianas. Passe as equações para coordenadas cilíndricas esféricas.
Cilindro x^{2}+y^{2}=25

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície em coordenadas cartesianas e pede que a mesma seja escrita em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas. Informação fornecida:
  • Equação dada: x^{2}+y^{2}=25.
    Perguntas que vamos responder:
  • Qual é a equação equivalente em coordenadas cilíndricas?
  • Qual é a equação equivalente em coordenadas esféricas?

Passo 2

Lembrando as definições de coordenadas cilíndricas (vou explicar o que cada variável significa):
  • Em coordenadas cilíndricas usamos (r,\theta,z) onde:
    • r é a distância do ponto ao eixo z no plano xy, isto é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e r\ge0.
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (posição em torno do eixo z).
    • z é a mesma coordenada vertical do sistema cartesiano.
      As fórmulas de transformação são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Isso implica diretamente que
x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Passo 3

Agora substituo x^{2}+y^{2} por r^{2} na equação dada:
r^{2}=25.
Como r\ge0, isso equivale a
r=5.
Interpretação curta: em coordenadas cilíndricas a superfície é simplesmente o cilindro vertical de raio 5, independente de \theta e z.

Passo 4

Agora as coordenadas esféricas. Vou definir a convenção que uso (a mais comum em cursos): em coordenadas esféricas usamos (\rho,\varphi,\theta) onde:
  • \rho é a distância do ponto à origem ( \rho\ge0);
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo z (ou seja, \varphi\in[0,\pi]);
  • \theta é o mesmo ângulo azimutal do sistema cilíndrico (no plano xy).
    As fórmulas de transformação são:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi.
Note que, a partir disso,
x^{2}+y^{2} = \rho^{2}\sin^{2}\varphi.

Passo 5

Substituindo x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi na equação dada obtemos:
\rho^{2}\sin^{2}\varphi = 25.
Podemos escrever essa igualdade de duas formas equivalentes úteis:
\rho\sin\varphi = 5, \qquad\text{ou}\qquad \rho = \frac{5}{\sin\varphi} = 5\csc\varphi,
com a observação de que \sin\varphi\neq0 (ou seja, \varphi\neq0,\pi) — isso é coerente porque pontos exatamente sobre o eixo z teriam x^{2}+y^{2}=0, não 25. Em geral, é mais elegante manter a forma \rho\sin\varphi=5.

Passo 6

Pequeno teste numérico para conferir a intuição:
  • Se \varphi=\tfrac{\pi}{2} (plano equatorial), \sin\varphi=1 e \rho=5. Isso corresponde aos pontos do cilindro que estão no plano z=0 com raio 5.
  • Se \varphi=\tfrac{\pi}{6} ( 30^\circ), \sin\varphi=\tfrac{1}{2} e \rho=10: um ponto do cilindro visto desde a origem tem distância maior \rho quando \varphi é menor, como faz sentido geometricamente.

Resposta

Cilíndricas: r=5
Esféricas: \rho\sin\varphi=5 (equivalente a \rho=5\csc\varphi)

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