As superfícies dadas abaixo estão representadas por suas equações cartesianas. Passe as equações para coordenadas cilíndricas esféricas.
Cilindro
Cilindro
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície em coordenadas cartesianas e pede que a mesma seja escrita em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas. Informação fornecida:
- Equação dada:
.
Perguntas que vamos responder: - Qual é a equação equivalente em coordenadas cilíndricas?
- Qual é a equação equivalente em coordenadas esféricas?
Passo 2
Lembrando as definições de coordenadas cilíndricas (vou explicar o que cada variável significa):
- Em coordenadas cilíndricas usamos
onde: -
é a distância do ponto ao eixo no plano , isto é e . -
é o ângulo azimutal no plano (posição em torno do eixo ). -
é a mesma coordenada vertical do sistema cartesiano.
As fórmulas de transformação são:
-
Isso implica diretamente que
Passo 3
Agora substituo
por
na equação dada:
Como
, isso equivale a
Interpretação curta: em coordenadas cilíndricas a superfície é simplesmente o cilindro vertical de raio
, independente de
e
.
Passo 4
Agora as coordenadas esféricas. Vou definir a convenção que uso (a mais comum em cursos): em coordenadas esféricas usamos
onde:
-
é a distância do ponto à origem ( ); -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo (ou seja, ); -
é o mesmo ângulo azimutal do sistema cilíndrico (no plano ).
As fórmulas de transformação são:
Note que, a partir disso,
Passo 5
Substituindo
na equação dada obtemos:
Podemos escrever essa igualdade de duas formas equivalentes úteis:
com a observação de que
(ou seja,
) — isso é coerente porque pontos exatamente sobre o eixo
teriam
, não
. Em geral, é mais elegante manter a forma
.
Passo 6
Pequeno teste numérico para conferir a intuição:
- Se
(plano equatorial), e . Isso corresponde aos pontos do cilindro que estão no plano com raio . - Se
( ), e : um ponto do cilindro visto desde a origem tem distância maior quando é menor, como faz sentido geometricamente.
Resposta
Cilíndricas:
Esféricas: (equivalente a
)
Esféricas: