Sabendo que as coordenadas cilíndricas de um ponto P são r=1, \theta=\frac{\pi}{4} e z=1. Determine as coordenadas cartesianas e esféricas do ponto P.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas cilíndricas do ponto P:
  • r=1,
  • \theta=\dfrac{\pi}{4},
  • z=1.
O que é pedido:
  • Determinar as coordenadas cartesianas (x,y,z) de P.
  • Determinar as coordenadas esféricas de P. (Será indicado qual convenção de esféricas estou usando.)

Passo 2

Vamos lembrar como se relacionam coordenadas cilíndricas e cartesianas. Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e cartesianas (x,y,z) valem as fórmulas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui r é a distância ao eixo z no plano xy, \theta é o ângulo no plano xy contado a partir do eixo x, e z é a altura (mesmo z nas duas representações).

Passo 3

Aplicando essas fórmulas com os valores dados ( r=1, \theta=\dfrac{\pi}{4}, z=1):
x = 1\cdot\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right),\qquad y = 1\cdot\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right),\qquad z = 1.
Sabendo que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
x=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad y=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad z=1.
Portanto as coordenadas cartesianas são \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right).

Passo 4

Agora vamos para as coordenadas esféricas. Primeiro escolho e explico a convenção que vou usar (a mais comum em matemática/ física): as coordenadas esféricas são (\rho,\varphi,\theta), onde
  • \rho é a distância do ponto à origem (isto é, o raio),
  • \varphi é o ângulo polar (ou colatitude), medido a partir do eixo positivo z (então 0\le\varphi\le\pi),
  • \theta é o mesmo ângulo azimutal do sistema cilíndrico (no plano xy).
As fórmulas de conversão entre cartesianas e esféricas (nessa convenção) são:
\rho = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \varphi = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right),\qquad \theta = \theta\\ (\text{o mesmo ângulo azimutal}).â

Passo 5

Podemos calcular \rho de forma direta também usando r e z: em coordenadas cilíndricas r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, logo
\rho = \sqrt{r^{2}+z^{2}}.
Com r=1 e z=1:
\rho = \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Agora o ângulo \varphi:
\varphi = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Sabendo que \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4}, obtemos \varphi=\dfrac{\pi}{4}.
O ângulo azimutal \theta permanece \theta=\dfrac{\pi}{4} (mesmo valor que nas coordenadas cilíndricas).
Portanto as coordenadas esféricas (na convenção (\rho,\varphi,\theta) com \varphi medido a partir do eixo z) são
\left(\rho,\varphi,\theta\right)=\left(\sqrt{2},\,\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{\pi}{4}\right).

Resposta

\left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)
\left(\rho,\varphi,\theta\right)=\left(\sqrt{2},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right)

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