Sabendo que as coordenadas cilíndricas de um ponto
são
e
. Determine as coordenadas cartesianas e esféricas do ponto
.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas cilíndricas do ponto
:
-
, -
, -
.
O que é pedido:
- Determinar as coordenadas cartesianas
de . - Determinar as coordenadas esféricas de
. (Será indicado qual convenção de esféricas estou usando.)
Passo 2
Vamos lembrar como se relacionam coordenadas cilíndricas e cartesianas. Em coordenadas cilíndricas
e cartesianas
valem as fórmulas:
Aqui
é a distância ao eixo
no plano
,
é o ângulo no plano
contado a partir do eixo
, e
é a altura (mesmo
nas duas representações).
Passo 3
Aplicando essas fórmulas com os valores dados (
,
,
):
Sabendo que
, obtemos
Portanto as coordenadas cartesianas são
.
Passo 4
Agora vamos para as coordenadas esféricas. Primeiro escolho e explico a convenção que vou usar (a mais comum em matemática/ física): as coordenadas esféricas são
, onde
-
é a distância do ponto à origem (isto é, o raio), -
é o ângulo polar (ou colatitude), medido a partir do eixo positivo (então ), -
é o mesmo ângulo azimutal do sistema cilíndrico (no plano ).
As fórmulas de conversão entre cartesianas e esféricas (nessa convenção) são:
Passo 5
Podemos calcular
de forma direta também usando
e
: em coordenadas cilíndricas
, logo
Com
e
:
Agora o ângulo
:
Sabendo que
, obtemos
.
O ângulo azimutal
permanece
(mesmo valor que nas coordenadas cilíndricas).
Portanto as coordenadas esféricas (na convenção
com
medido a partir do eixo
) são