Determine o volume da esfera de raio 2 u.c. utilizando integrais triplas.

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar o volume de uma esfera de raio 2 u.c. usando integrais triplas. O conteúdo aqui é cálculo de múltiplas integrais, mais especificamente coordenadas esféricas, e vamos precisar usar a mudança de variáveis de cartesianas para esféricas e o elemento de volume dV = rho^2 sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 2

Vamos parametrizar a esfera de raio 2 em coordenadas esféricas: rho varia de 0 até 2, phi (o ângulo polar) varia de 0 até pi e theta (o azimutal) varia de 0 até 2pi. Desse modo, o volume fica
V = integral0^2pi integral0^pi integral0^2 rho^2 sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Começamos integrando em rho:
integral0^2 rho^2 ,drho = [ rho^33 ]0^2 = 83

Passo 4

Depois integramos em phi:
integral0^pi sinphi ,dphi = [ -cosphi ]0^pi = 2

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 6

Multiplicando todos os resultados:
V = 83 times 2 times 2pi = 32pi3

Resposta

$ \displaystyle \frac{32\pi}{3} $ u.c.^3

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