Determine o volume da esfera de raio 2 u.c. utilizando integrais triplas.
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar o volume de uma esfera de raio 2 u.c. usando integrais triplas. O conteúdo aqui é cálculo de múltiplas integrais, mais especificamente coordenadas esféricas, e vamos precisar usar a mudança de variáveis de cartesianas para esféricas e o elemento de volume
.
Passo 2
Vamos parametrizar a esfera de raio 2 em coordenadas esféricas:
varia de 0 até 2,
(o ângulo polar) varia de 0 até
e
(o azimutal) varia de 0 até
. Desse modo, o volume fica
Passo 3
Começamos integrando em
:
Passo 4
Depois integramos em
:
Passo 5
Por fim, integramos em
:
Passo 6
Multiplicando todos os resultados:
Resposta
$ \displaystyle \frac{32\pi}{3} $ u.c.^3