Resolva as seguintes EDO:
x^3 d yd x-4 x^2 y=x^4 e^x^2, para x>0.

Passo 1

O enunciado nos dá uma EDO de 1ª ordem linear: x^3 dydx - 4x^2 y = x^4 e^x^2 para x>0. O conteúdo é EDO linear, e vamos usar a técnica do fator integrante.

Passo 2

Dividimos a equação por x^3 (válido para x>0) para obter a forma padrão:
dydx - 4xy = x e^x^2
Aqui identificamos P(x)=-4/x e Q(x)=x e^x^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral -4/x,dxr)=exp(-4ln x)=x^-4

Passo 4

Multiplicando toda a EDO padrão por mu(x)=x^-4 temos
x^-4dydx-4xx^-4y = x^-3e^x^2,
e o lado esquerdo é exatamente ddx(y,x^-4).

Passo 5

Integramos ambos os lados:
y,x^-4 = integral x^-3 e^x^2,dx + C

Passo 6

Para calcular integral x^-3e^x^2dx, fazemos integração por partes com u=e^x^2, dv=x^-3dx. Então
$$du=2x e{x2}dx,
\quad v=-\tfrac{1}{2}x^{-2}. du=2x e^x^2dx, v=-tfrac12x^-2\int x{-3}e{x^2}dx = u,v - \int v,du = -\frac{e{x2}}{2x^2} + \int x{-1}e{x^2}dx.$$
E sabemos que
integral x^-3e^x^2dx = u,v - integral v,du = -e^x^22x^2 + integral x^-1e^x^2dxonde integral x^-1e^x^2dx = 12Ei(x^2), é a integral exponencial.
Portanto
Ei(x^2)

Passo 7

Substituindo em y,x^-4 e absorvendo constantes em C, ficamos com
y,x^-4 = 12Ei(x^2) - e^x^22x^2 + C

Passo 8

Isolando y:
y = Cx^4 + x^42Ei(x^2) - x^22e^x^2

Resposta

y(x) = Cx^4 + x^42Ei(x^2) - x^22e^x^2, onde C é constante de integração.

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