Seja o campo vetorial definido por
. Determine:
(1) Se o campo
é conservativo.
(1) Se o campo
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial
e pergunta se ele é conservativo. Vamos usar que, num domínio aberto e simplesmente conexo (como
), um campo é conservativo se e só se vale
.
Passo 2
Calculo de
:
$$P(x,y)=e^y\sin x\quad\implies\quad
\frac{\partial P}{\partial y}=e^y\sin x.$$
Passo 3
Calculo de
:
$$Q(x,y)=-e^y\cos x\quad\implies\quad
\frac{\partial Q}{\partial x}=-e^y(-\sin x)=e^y\sin x.$$
Passo 4
Como encontramos
eles são iguais em todo
. Portanto, pelo critério de igualdade de derivadas mistas num domínio simplesmente conexo, o campo
é conservativo.
Resposta
O campo
é conservativo.