Seja o campo vetorial definido por F(x, y)=(e^y sen(x),-e^y cos (x)). Determine:
(1) Se o campo F é conservativo.

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial F(x,y)=(P,Q)=(e^ysin x,,-e^ycos x) e pergunta se ele é conservativo. Vamos usar que, num domínio aberto e simplesmente conexo (como R^2), um campo é conservativo se e só se vale partial Ppartial y=partial Qpartial x.

Passo 2

Calculo de partial Ppartial y:
$$P(x,y)=e^y\sin x\quad\implies\quad
\frac{\partial P}{\partial y}=e^y\sin x.$$

Passo 3

Calculo de partial Qpartial x:
$$Q(x,y)=-e^y\cos x\quad\implies\quad
\frac{\partial Q}{\partial x}=-e^y(-\sin x)=e^y\sin x.$$

Passo 4

Como encontramos
partial Ppartial y=e^ysin x e partial Qpartial x=e^ysin x,
eles são iguais em todo R^2. Portanto, pelo critério de igualdade de derivadas mistas num domínio simplesmente conexo, o campo F é conservativo.

Resposta

O campo F(x,y)=(e^ysin x,,-e^ycos x) é conservativo.

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