Usando a Propriedade 4, conclua as identidades a seguir:
& F(cos (a x) f(x))=F(f)(omega-a)+F(f)(omega+a)2, & F(sen(a x) f(x))=F(f)(omega-a)-F(f)(omega+a)2 i

Passo 1

O exercício pede para mostrar duas identidades de transformada de Fourier envolvendo multiplicação por funções cosseno e seno, usando a Propriedade 4 (teorema da modulação). Vamos precisar da definição de cosseno e seno em termos de exponenciais complexas, da linearidade da transformada e da Propriedade 4.

Passo 2

A Propriedade 4 (modulação) diz que, para qualquer função f(x) e constante real a, temos
Fl(e^i a xf(x)r)(omega)=F(f)(omega - a)
e, analogamente,
Fl(e^-i a xf(x)r)(omega)=F(f)(omega + a)

Passo 3

Como cos(a x)=tfrace^i a x+e^-i a x2, podemos escrever
cos(a x)f(x)=e^i a xf(x)+e^-i a xf(x)2
Pelo princípio da linearidade da transformada e usando a Propriedade 4 em cada termo, obtemos
F(cos(a x)f(x))(omega) =12l[F(e^i a xf(x))(omega)+F(e^-i a xf(x))(omega)r] =F(f)(omega - a)+F(f)(omega + a)2

Passo 4

Como sin(a x)=tfrace^i a x-e^-i a x2i, seguimos analogamente:
sin(a x)f(x)=e^i a xf(x)-e^-i a xf(x)2i
Aplicando a transformada e usando linearidade e a Propriedade 4, temos
F(sin(a x)f(x))(omega) =12il[F(e^i a xf(x))(omega)-F(e^-i a xf(x))(omega)r] =F(f)(omega - a)-F(f)(omega + a)2i

Resposta

F(cos(a x)f(x))(omega)=F(f)(omega - a)+F(f)(omega + a)2, F(sin(a x)f(x))(omega)=F(f)(omega - a)-F(f)(omega + a)2i

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