Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
y=x(x-1)^{2}, y=0, x=0, x=1; em torno de x=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=x(x-1)^{2}, y=0, x=0 e x=1 em torno da reta x=0.
Informações dadas e perguntas claras:
  • Curva superior da região: y=x(x-1)^{2}.
  • Limites verticais da região: x=0 e x=1.
  • Limite inferior: y=0.
  • Eixo de rotação: x=0.
  • Objetivo: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método: como o eixo de rotação é uma reta vertical ( x=0) e a região está descrita por y=f(x) com x variando de 0 a 1, o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros horizontais, ou “shells”) é o mais natural e simples. Vou explicar por quê e como funciona antes de aplicar. (Escolhi esse método porque exige integrar em x diretamente; o método dos discos/arruelas exigiria escrever x em função de y, o que complica desnecessariamente.)

Passo 3

Explicação didática do método das cascas cilíndricas:
  • Imagine uma fatia vertical da região, centrada em x, com largura infinitesimal dx e altura igual a y=f(x).
  • Ao girar essa fatia em torno de x=0 ela gera uma casca cilíndrica fina.
  • A casca cilíndrica tem raio igual à distância da fatia ao eixo de rotação, isto é, \text{raio} = x.
  • A altura da casca é \text{altura} = y = f(x).
  • O comprimento (circunferência) da casca é 2\pi x.
  • A área lateral aproximada da casca é 2\pi x \cdot y.
  • Multiplicando pela espessura dx obtemos o volume elemental:
dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot (dx) = 2\pi x\, y\, dx.
  • O volume total é a integral desse dV ao longo dos x que ocupam a região.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Aqui y=f(x)=x(x-1)^{2}, e x varia de 0 a 1. Portanto o volume é
V = \int_{0}^{1} 2\pi x \cdot \bigl(x(x-1)^{2}\bigr)\, dx.
Simplificando o integrando,
V = \int_{0}^{1} 2\pi x^{2}(x-1)^{2}\, dx.

Passo 5

Desenvolvendo o integrando passo a passo para facilitar a integração:
Primeiro calcule (x-1)^{2}:
(x-1)^{2} = x^{2} - 2x + 1.
Multiplicando por x^{2}:
x^{2}(x-1)^{2} = x^{2}\bigl(x^{2}-2x+1\bigr) = x^{4} - 2x^{3} + x^{2}.
Assim a integral vira
V = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(x^{4} - 2x^{3} + x^{2}\bigr)\, dx.

Passo 6

Integrando termo a termo:
  • \displaystyle \int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}.
  • \displaystyle \int -2x^{3}\, dx = -2\cdot\frac{x^{4}}{4} = -\frac{x^{4}}{2}.
  • \displaystyle \int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}.
    Logo uma primitiva do integrando é
F(x)=\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{3}.
Avalie de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \bigl(x^{4} - 2x^{3} + x^{2}\bigr)\, dx = F(1)-F(0) = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}.
Calcule esse valor usando denominador comum 30:
\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{30} - \frac{15}{30} + \frac{10}{30} = \frac{1}{30}.

Passo 7

Voltando ao volume com o fator 2\pi:
V = 2\pi \cdot \frac{1}{30} = \frac{2\pi}{30} = \frac{\pi}{15}.

Passo 8

Interpretação final rápida e incentivo: o volume do sólido gerado pela rotação pedida é \dfrac{\pi}{15}. Você fez certinho seguindo as etapas — escolha do método, montagem da casca, expansão e integração. Confia no processo, deu certinho!

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{15}

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