Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno de
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
,
,
e
em torno da reta
.
Informações dadas e perguntas claras:
Informações dadas e perguntas claras:
- Curva superior da região:
. - Limites verticais da região:
e . - Limite inferior:
. - Eixo de rotação:
. - Objetivo: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método: como o eixo de rotação é uma reta vertical (
) e a região está descrita por
com
variando de
a
, o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros horizontais, ou “shells”) é o mais natural e simples. Vou explicar por quê e como funciona antes de aplicar. (Escolhi esse método porque exige integrar em
diretamente; o método dos discos/arruelas exigiria escrever
em função de
, o que complica desnecessariamente.)
Passo 3
Explicação didática do método das cascas cilíndricas:
- Imagine uma fatia vertical da região, centrada em
, com largura infinitesimal e altura igual a . - Ao girar essa fatia em torno de
ela gera uma casca cilíndrica fina. - A casca cilíndrica tem raio igual à distância da fatia ao eixo de rotação, isto é,
. - A altura da casca é
. - O comprimento (circunferência) da casca é
. - A área lateral aproximada da casca é
. - Multiplicando pela espessura
obtemos o volume elemental:
- O volume total é a integral desse
ao longo dos que ocupam a região.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Aqui , e
varia de
a
. Portanto o volume é
Aqui
Simplificando o integrando,
Passo 5
Desenvolvendo o integrando passo a passo para facilitar a integração:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Multiplicando por
:
Assim a integral vira
Passo 6
Integrando termo a termo:
-
. -
. -
.
Logo uma primitiva do integrando é
Avalie de
a
:
Calcule esse valor usando denominador comum
:
Passo 7
Voltando ao volume com o fator
:
Passo 8
Interpretação final rápida e incentivo: o volume do sólido gerado pela rotação pedida é
. Você fez certinho seguindo as etapas — escolha do método, montagem da casca, expansão e integração. Confia no processo, deu certinho!