Encontre a área da região enclausurada entre os gráficos de f(x)=-e^{x} e g(x)=x^{2}-2 x e as linhas x=-1 e x=2. Esboce o gráfico da região.

Passo 1

Você quer a área da região fechada entre os gráficos de f(x)=-e^{x} e g(x)=x^{2}-2x e entre as retas verticais x=-1 e x=2. Informações dadas importantes:
  • As funções são f(x)=-e^{x} e g(x)=x^{2}-2x.
  • As retas verticais que limitam a região são x=-1 e x=2.
  • A pergunta é: qual é a área da região entre esses dois gráficos e essas duas retas? Além disso, pede-se um esboço do gráfico da região.

Passo 2

Primeiro precisamos saber qual função está acima da outra no intervalo [-1,2]. Isso é essencial porque a área entre curvas é a integral do gráfico de cima menos o gráfico de baixo. Para verificar isso, comparemos valores em alguns pontos:
  • Em x=-1: f(-1)=-e^{-1} \qquad\text{e}\qquad g(-1)=(-1)^{2}-2(-1)=1+2=3.Aqui g(-1)=3 e f(-1)=-e^{-1}\approx -0,3679, então g(-1)>f(-1).
  • Em x=0: f(0)=-e^{0}=-1 \qquad\text{e}\qquad g(0)=0^{2}-2\cdot0=0,então g(0)=0>f(0)=-1.
  • Em x=1: f(1)=-e^{1}=-e\approx -2,718\qquad\text{e}\qquad g(1)=1^{2}-2\cdot1=-1,então g(1)=-1>f(1).
  • Em x=2: f(2)=-e^{2}\approx -7,389\qquad\text{e}\qquad g(2)=2^{2}-2\cdot2=0,então g(2)=0>f(2).
Como em todos esses pontos g(x)>f(x), concluímos que, no intervalo [-1,2], a parábola g está acima da exponencial negativa f. Logo a área procurada é
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx.Á
(Importante: sempre cheque qual é a função superior — se invertermos a ordem o integral dá resultado negativo.)

Passo 3

Monte o integrando explicitamente:
g(x)-f(x)=\bigl(x^{2}-2x\bigr)-\bigl(-e^{x}\bigr)=x^{2}-2x+e^{x}.
Portanto a integral para a área é
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\bigl(x^{2}-2x+e^{x}\bigr)\,dx.Á
Aqui estamos somando três termos; podemos integrar termo a termo.

Passo 4

Relembrando as regras básicas de integração que vamos usar (mini-aula rápida, sem mistério):
  • Para um polinômio, \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Por exemplo \displaystyle \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
  • A integral de uma constante vezes uma função é a constante vezes a integral da função, então \displaystyle \int -2x\,dx=-2\int x\,dx=-2\cdot\frac{x^{2}}{2}=-x^{2}.
  • A integral de exponencial é \displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}.
    Aplicando termo a termo, uma antiderivada de x^{2}-2x+e^{x} é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+e^{x}.
Expliquei cada termo: \frac{x^{3}}{3} vem de integrar x^{2}, -x^{2} vem de integrar -2x, e e^{x} vem de integrar e^{x}.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliamos F(x) em x=2 e x=-1 e subtraímos:
\text{Área}=F(2)-F(-1).Á
Calcule F(2):
F(2)=\frac{2^{3}}{3}-2^{2}+e^{2}=\frac{8}{3}-4+e^{2}=\Bigl(\frac{8}{3}-\frac{12}{3}\Bigr)+e^{2}=-\frac{4}{3}+e^{2}.
Calcule F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{3}}{3}-(-1)^{2}+e^{-1}=-\frac{1}{3}-1+e^{-1}=-\frac{4}{3}+e^{-1}.
Subtraindo:
\text{Área}=\Bigl(-\frac{4}{3}+e^{2}\Bigr)-\Bigl(-\frac{4}{3}+e^{-1}\Bigr)=e^{2}-e^{-1}.Á
Observe que os termos -\tfrac{4}{3} se cancelam — bom sinal de conta correta.

Passo 6

Interpretação e valor aproximado (para conferir): a forma exata da área é \displaystyle e^{2}-e^{-1}. Numericamente,
e^{2}\approx 7{,}389056\qquad\text{e}\qquad e^{-1}\approx 0{,}367879,
logo
\text{Área}\approx 7{,}021177.Á
Isto confirma que a área é positiva e razoavelmente grande, porque a parábola fica bem acima da exponencial negativa no intervalo.

Passo 7

Esboço do gráfico da região (como fazer na prova — passo a passo para desenhar):
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Desenhe as retas verticais x=-1 e x=2 como limites verticais do recinto.
  3. Desenhe a parábola g(x)=x^{2}-2x: tem raízes em \,x=0 e \,x=2 e vértice em x=1 com g(1)=-1. Então entre x=-1 e x=2 a parábola passa por ( -1,3), (0,0), (1,-1), (2,0).
  4. Desenhe f(x)=-e^{x}: é uma exponencial negativa decrescente para a direita (cada aumento de x torna f(x) mais negativo). Pontos úteis: (-1,-e^{-1}\approx -0{,}368), (0,-1), (1,-e\approx -2{,}718), (2,-e^{2}\approx -7{,}389).
  5. A região buscada é a área entre a parábola (acima) e a exponencial (abaixo), limitada pelas linhas x=-1 e x=2. Esfumeie (ou pinte) essa faixa vertical entre as curvas.
    Dica: ao desenhar, marque os pontos que calculei para orientar a forma; não é preciso alta precisão, apenas a posição relativa (parábola claramente acima).

Resposta

\,e^{2}-e^{-1}

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