Encontre a área da região enclausurada entre os gráficos de
e
e as linhas
e
. Esboce o gráfico da região.
Passo 1
Você quer a área da região fechada entre os gráficos de
e
e entre as retas verticais
e
. Informações dadas importantes:
- As funções são
e . - As retas verticais que limitam a região são
e . - A pergunta é: qual é a área da região entre esses dois gráficos e essas duas retas? Além disso, pede-se um esboço do gráfico da região.
Passo 2
Primeiro precisamos saber qual função está acima da outra no intervalo
. Isso é essencial porque a área entre curvas é a integral do gráfico de cima menos o gráfico de baixo. Para verificar isso, comparemos valores em alguns pontos:
- Em
: Aqui e , então . - Em
: então . - Em
: então . - Em
: então .
Como em todos esses pontos
, concluímos que, no intervalo
, a parábola
está acima da exponencial negativa
. Logo a área procurada é
(Importante: sempre cheque qual é a função superior — se invertermos a ordem o integral dá resultado negativo.)
Passo 3
Monte o integrando explicitamente:
Portanto a integral para a área é
Aqui estamos somando três termos; podemos integrar termo a termo.
Passo 4
Relembrando as regras básicas de integração que vamos usar (mini-aula rápida, sem mistério):
- Para um polinômio,
para . Por exemplo . - A integral de uma constante vezes uma função é a constante vezes a integral da função, então
. - A integral de exponencial é
.
Aplicando termo a termo, uma antiderivada deé
Expliquei cada termo:
vem de integrar
,
vem de integrar
, e
vem de integrar
.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliamos
em
e
e subtraímos:
Calcule
:
Calcule
:
Subtraindo:
Observe que os termos
se cancelam — bom sinal de conta correta.
Passo 6
Interpretação e valor aproximado (para conferir): a forma exata da área é
. Numericamente,
logo
Isto confirma que a área é positiva e razoavelmente grande, porque a parábola fica bem acima da exponencial negativa no intervalo.
Passo 7
Esboço do gráfico da região (como fazer na prova — passo a passo para desenhar):
- Trace os eixos
e . - Desenhe as retas verticais
e como limites verticais do recinto. - Desenhe a parábola
: tem raízes em e e vértice em com . Então entre e a parábola passa por , , , . - Desenhe
: é uma exponencial negativa decrescente para a direita (cada aumento de torna mais negativo). Pontos úteis: , , , . - A região buscada é a área entre a parábola (acima) e a exponencial (abaixo), limitada pelas linhas
e . Esfumeie (ou pinte) essa faixa vertical entre as curvas.
Dica: ao desenhar, marque os pontos que calculei para orientar a forma; não é preciso alta precisão, apenas a posição relativa (parábola claramente acima).