Encontre o volume do sólido de revolução gerado por girar em torno do eixo Ox a região delimitada pelo gráfico de y=x^{3}, o eixo Ox e as linhas x=-1 e x=2.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo Ox a região delimitada por y=x^{3}, o eixo Ox e as retas verticais x=-1 e x=2. Informações dadas e o que é pedido:
Curva: y=x^{3}.
Eixo de rotação: eixo Ox.
Limites verticais: x=-1 e x=2.
A região é a área entre o gráfico de y=x^{3} e o eixo Ox, para x entre -1 e 2.
Pedido: calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa região ao girar em torno de Ox.
Passo 2
Escolhemos a técnica dos discos (ou anéis), que é a forma padrão para volumes de rotação quando giramos em torno do eixo Ox e a região está entre uma curva verticalmente dependente de x e o eixo Ox.
Explicando a ideia: ao girar um pequeno retângulo de espessura dx e altura igual à distância entre a curva e o eixo Ox em torno de Ox, obtemos um disco (ou anel) cuja área da secção transversal perpendicular a Ox é \pi r^{2}, onde r é essa distância. Integrando essas áreas ao longo de x obtemos o volume.
Fórmula geral (quando a região está entre y=f(x) e o eixo Ox, e f(x) é a distância, positiva ou tomada em valor absoluto):
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl(\text{raio}(x)\bigr)^{2}\,dx.
Aqui \text{raio}(x) é a distância vertical entre a curva e o eixo Ox. As variáveis significam:
a e b: os limites em x (neste caso -1 e 2).
\text{raio}(x): é |y(x)|, a distância do ponto (x,y(x)) ao eixo Ox.
Passo 3
Precisamos ver onde y=x^{3} está acima ou abaixo do eixo Ox no intervalo [-1,2]:
Em x=-1: y=(-1)^{3}=-1 (abaixo do eixo).
Em x=0: y=0.
Em x=2: y=2^{3}=8 (acima do eixo).
Logo, y=x^{3} é negativa no intervalo [-1,0), nula em 0 e positiva em (0,2]. Para usar a fórmula do disco devemos tomar a distância ao eixo, que é |x^{3}|. Assim, em termos de integranda usamos (\text{raio}(x))^{2} = \bigl(|x^{3}|\bigr)^{2}.
Note que \bigl(|x^{3}|\bigr)^{2} = (x^{3})^{2} = x^{6}. Portanto não há problema em integrar diretamente x^{6} mesmo que a função mude de sinal no intervalo; a operação de elevar ao quadrado elimina o sinal.
Passo 4
Montando o integral pelo método dos discos:
V = \pi \int_{-1}^{2} \bigl(|x^{3}|\bigr)^{2}\,dx = \pi \int_{-1}^{2} x^{6}\,dx.
(Alternativamente poderíamos ter escrito separadamente as integrais em [-1,0] e [0,2] com (-x^{3})^{2} e (x^{3})^{2}, mas ambas dão x^{6}, então é legítimo integrar diretamente de -1 a 2.)
Passo 5
Calculamos a integral:
\int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7} + C,
onde cada termo tem o significado usual: integrando a função x^{6} obtemos uma primitiva \frac{x^{7}}{7}.
Resumo final e checagem rápida: a integranda ficou x^{6} porque estamos usando a distância ao eixo Ox elevada ao quadrado; a primitiva de x^{6} é \frac{x^{7}}{7}; avaliando entre -1 e 2 obtemos \frac{129}{7} e, multiplicando por \pi, o volume é \frac{129\pi}{7}. Vai dar certo na prova — respira, você conseguiu montar e calcular o integral!