Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.1) Interior à circunferência
e exterior à cardióide
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(13.1) Interior à circunferência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrarmos a área da região que está dentro da circunferência $ r = \cos \theta $ e fora da cardióide $ r = 1 - \cos \theta $. Isso envolve aprender sobre coordenadas polares e como calcular áreas entre curvas usando integrais. Vamos precisar entender como identificar os pontos onde essas curvas se cruzam e configurar a integral corretamente para achar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a circunferência $ r = \cos \theta $ e a cardióide $ r = 1 - \cos \theta $ se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Isso acontece quando $ \theta = \frac{\pi}{3} $ e $ \theta = \frac{5\pi}{3} $.
Passo 4
Agora, sabemos que os pontos de interseção acontecem em $ \theta = \frac{\pi}{3} $ e $ \theta = \frac{5\pi}{3} $. Vamos considerar o intervalo de $ \theta $ de $ \frac{\pi}{3} $ a $ \frac{5\pi}{3} $ para calcular a área entre as duas curvas.
Passo 5
A fórmula para a área em coordenadas polares entre duas curvas $ r_1(\theta) $ e $ r_2(\theta) $ é:
Aqui, $ r_1(\theta) = \cos \theta $ (a circunferência) e $ r_2(\theta) = 1 - \cos \theta $ (a cardióide).
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 10
Calculando os valores das funções trigonométricas:
Substituindo:
Como estamos calculando uma área, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região indicada é $ \sqrt{3} + \dfrac{2\pi}{3} $ unidades de área.