Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.1) Interior à circunferência r=cos theta e exterior à cardióide r=1-cos theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrarmos a área da região que está dentro da circunferência $ r = \cos \theta $ e fora da cardióide $ r = 1 - \cos \theta $. Isso envolve aprender sobre coordenadas polares e como calcular áreas entre curvas usando integrais. Vamos precisar entender como identificar os pontos onde essas curvas se cruzam e configurar a integral corretamente para achar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a circunferência $ r = \cos \theta $ e a cardióide $ r = 1 - \cos \theta $ se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
r = cos theta

Passo 3

Resolvendo a equação:
cos theta + cos theta = 1 2 cos theta = 1 cos theta = 12
Isso acontece quando $ \theta = \frac{\pi}{3} $ e $ \theta = \frac{5\pi}{3} $.

Passo 4

Agora, sabemos que os pontos de interseção acontecem em $ \theta = \frac{\pi}{3} $ e $ \theta = \frac{5\pi}{3} $. Vamos considerar o intervalo de $ \theta $ de $ \frac{\pi}{3} $ a $ \frac{5\pi}{3} $ para calcular a área entre as duas curvas.

Passo 5

A fórmula para a área em coordenadas polares entre duas curvas $ r_1(\theta) $ e $ r_2(\theta) $ é:
r1(theta)
Aqui, $ r_1(\theta) = \cos \theta $ (a circunferência) e $ r_2(\theta) = 1 - \cos \theta $ (a cardióide).

Passo 6

Substituindo na fórmula:
A = 12 integralpi3^5pi3 ( (cos theta)^2 - (1 - cos theta)^2 ) dtheta

Passo 7

Vamos expandir os termos dentro da integral:
(cos theta)^2 - (1 - 2 cos theta + cos^2 theta) = cos^2 theta - 1 + 2 cos theta - cos^2 theta = 2 cos theta - 1
Então, a integral fica:
A = 12 integralpi3^5pi3 (2 cos theta - 1) dtheta

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral (2 cos theta - 1) dtheta = 2 integral cos theta dtheta - integral 1 dtheta = 2 sin theta - theta

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração:
A = 12 [ 2 sin theta - theta ]pi3^5pi3 = 12 ( (2 sin 5pi3 - 5pi3) - (2 sin pi3 - pi3) )

Passo 10

Calculando os valores das funções trigonométricas:
sin pi3 = raiz32 sin 5pi3 = -raiz32
Substituindo:
A = 12 ( (2 (-raiz32) - 5pi3) - (2 (raiz32) - pi3) ) = 12 ( (-raiz3 - 5pi3) - (raiz3 - pi3) ) = 12 ( -raiz3 - 5pi3 - raiz3 + pi3 ) = 12 ( -2raiz3 - 4pi3 ) = -raiz3 - 2pi3
Como estamos calculando uma área, tomamos o valor absoluto:
A = raiz3 + 2pi3

Resposta

A área da região indicada é $ \sqrt{3} + \dfrac{2\pi}{3} $ unidades de área.

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