Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis.
d yd x=e^x+y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial tfracdydx=e^x+y. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais separáveis: vamos separar as variáveis x e y e integrar cada lado.

Passo 2

Reconhecemos que e^x+y=e^x,e^y. Logo, podemos escrever
dydx=e^x e^y
e em seguida separar as variáveis, levando todos os termos com y para o lado de dy e todos os termos com x para o lado de dx:
e^-y,dy=e^x,dx

Passo 3

Agora aplicamos a integral em cada lado. Lembrando que integral e^-ydy=-e^-y+C1 e integral e^x dx=e^x+C2, mas podemos juntar as constantes em uma só.
integral e^-y,dy=integral e^x,dx
que resulta em
-e^-y=e^x+C
onde C é uma constante arbitrária. Para isolar y, primeiro escrevemos
-e^-y=-e^x-C

Passo 4

Como C é livre, vamos definir C1=-C e obter
e^-y=C1-e^x
Aplicando logaritmo natural e invertendo o sinal, temos
$$
y=-\ln\bigl(C_1-e^x\bigr)$$
Essa é a forma explícita da solução geral da EDO.

Resposta

y(x)=-lnl(C-e^xr), em que C é constante arbitrária.

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