Determine o volume máximo de uma caixa retangular que possui um vértice na origem e o vértice da diagonal oposta no ponto
está sobre o parabolóide
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume máximo de uma caixa retangular que tem um canto na origem (0, 0, 0) e o canto oposto no ponto $ P = (x, y, z) $, que está sobre o parabolóide dado por $ z = 1 - \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} $. Para resolver isso, vamos usar cálculo para maximizar o volume da caixa, considerando as restrições impostas pela equação do parabolóide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o volume da caixa. Uma caixa retangular tem comprimento, largura e altura. No nosso caso, essas dimensões são $ x $, $ y $ e $ z $, respectivamente. Portanto, o volume $ V $ da caixa é dado por:
Passo 3
Mas, lembra que o ponto $ P $ está sobre o parabolóide $ z = 1 - \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} $. Isso significa que podemos substituir $ z $ na equação do volume:
Passo 4
Agora, queremos encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que maximizam o volume $ V $. Para isso, vamos usar cálculo diferencial. Precisamos encontrar as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $ e $ y $, e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 5
Vamos calcular a derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, a derivada parcial de $ V $ em relação a $ y $:
Simplificando:
Passo 7
Vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Ou seja,
Passo 8
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por $ x $ e $ y $ respectivamente (desde que $ x, y \neq 0 $):
Simplificando ainda mais:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Passo 9
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ x $ e $ y $.
Passo 10
Vamos resolver a equação (2) para $ y^{2} $:
Passo 11
Agora, substituímos $ y^{2} = 3 - \frac{3x^{2}}{4} $ na equação (1):
Simplificando:
Passo 12
Vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 13
Agora, isolamos $ x^{2} $:
Passo 14
Com $ x = 1 $, vamos encontrar $ y $ usando $ y^{2} = 3 - \frac{3x^{2}}{4} $:
Passo 15
Agora, encontramos $ z $ usando a equação do parabolóide:
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = \frac{3}{2} $:
Passo 16
Agora, temos $ x = 1 $, $ y = \frac{3}{2} $ e $ z = \frac{1}{2} $. Vamos calcular o volume máximo:
Resposta
O volume máximo da caixa retangular é $ \frac{3}{4} $ unidades cúbicas.