Determine o volume máximo de uma caixa retangular que possui um vértice na origem e o vértice da diagonal oposta no ponto P=(x, y, z) está sobre o parabolóide
z=1-x^24-y^29, x, y, z >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume máximo de uma caixa retangular que tem um canto na origem (0, 0, 0) e o canto oposto no ponto $ P = (x, y, z) $, que está sobre o parabolóide dado por $ z = 1 - \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} $. Para resolver isso, vamos usar cálculo para maximizar o volume da caixa, considerando as restrições impostas pela equação do parabolóide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o volume da caixa. Uma caixa retangular tem comprimento, largura e altura. No nosso caso, essas dimensões são $ x $, $ y $ e $ z $, respectivamente. Portanto, o volume $ V $ da caixa é dado por:
x

Passo 3

Mas, lembra que o ponto $ P $ está sobre o parabolóide $ z = 1 - \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} $. Isso significa que podemos substituir $ z $ na equação do volume:
P

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que maximizam o volume $ V $. Para isso, vamos usar cálculo diferencial. Precisamos encontrar as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $ e $ y $, e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 5

Vamos calcular a derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $:
V
Simplificando:
x

Passo 6

Agora, a derivada parcial de $ V $ em relação a $ y $:
V
Simplificando:
y

Passo 7

Vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
partial Vpartial x = 0 e partial Vpartial y = 0
Ou seja,
y (1 - x^24 - y^29) - x^2 y2 = 0
x (1 - x^24 - y^29) - 2x y^29 = 0

Passo 8

Podemos simplificar dividindo ambas as equações por $ x $ e $ y $ respectivamente (desde que $ x, y \neq 0 $):
x
y
Simplificando ainda mais:
Para a primeira equação:
x, y neq 0
Para a segunda equação:
1 - x^24 - y^29 - x^22 = 0

Passo 9

Agora, temos um sistema de duas equações:
1 - 3x^24 - y^29 = 0 (1)
1 - x^24 - y^23 = 0 (2)
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ x $ e $ y $.

Passo 10

Vamos resolver a equação (2) para $ y^{2} $:
y^2
1 - x^24 - y^23 = 0
y^23 = 1 - x^24

Passo 11

Agora, substituímos $ y^{2} = 3 - \frac{3x^{2}}{4} $ na equação (1):
y^2 = 3 - 3x^24
Simplificando:
1 - 3x^24 - 19 (3 - 3x^24) = 0
1 - 3x^24 - 39 + 3x^236 = 0

Passo 12

Vamos combinar os termos semelhantes:
(1 - 13) + (-3x^24 + x^212) = 0
23 - 9x^212 + x^212 = 0
23 - 8x^212 = 0
23 - 2x^23 = 0

Passo 13

Agora, isolamos $ x^{2} $:
x^2
23 = 2x^23
2 = 2x^2
x^2 = 1

Passo 14

Com $ x = 1 $, vamos encontrar $ y $ usando $ y^{2} = 3 - \frac{3x^{2}}{4} $:
x = 1
y

Passo 15

Agora, encontramos $ z $ usando a equação do parabolóide:
z
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = \frac{3}{2} $:
z = 1 - x^24 - y^29

Passo 16

Agora, temos $ x = 1 $, $ y = \frac{3}{2} $ e $ z = \frac{1}{2} $. Vamos calcular o volume máximo:
x = 1

Resposta

O volume máximo da caixa retangular é $ \frac{3}{4} $ unidades cúbicas.

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